BZOJ2560串珠子 状压DP+容斥

Posted 2020-10-15 CQzhangyu

【BZOJ2560】串珠子

Description

　　铭铭有n个十分漂亮的珠子和若干根颜色不同的绳子。现在铭铭想用绳子把所有的珠子连接成一个整体。
　　现在已知所有珠子互不相同，用整数1到n编号。对于第i个珠子和第j个珠子，可以选择不用绳子连接，或者在ci,j根不同颜色的绳子中选择一根将它们连接。如果把珠子看作点，把绳子看作边，将所有珠子连成一个整体即为所有点构成一个连通图。特别地，珠子不能和自己连接。
　　铭铭希望知道总共有多少种不同的方案将所有珠子连成一个整体。由于答案可能很大，因此只需输出答案对1000000007取模的结果。

Input

　标准输入。输入第一行包含一个正整数n，表示珠子的个数。接下来n行，每行包含n个非负整数，用空格隔开。这n行中，第i行第j个数为ci,j。

Output

　标准输出。输出一行一个整数，为连接方案数对1000000007取模的结果。

Sample Input

3
0 2 3
2 0 4
3 4 0

Sample Output

50

HINT

　　对于100%的数据，n为正整数，所有的ci,j为非负整数且不超过1000000007。保证ci,j=cj,i。每组数据的n值如下表所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10    
n      8 9 9 10 11 12 13 14 15 16  

题解：还记得n个点有标号的无向连通图个数怎么求吗？如果记得的话，此题就简单了。

用f[S]表示与1号点连通的点的状态为S的方案数。我们先与处理出g数组，$g[S]=\prod\limits_{u,v \in S} (c[u][v]+1)$，然后f[S]就等于g[S]减去S中某些点与1号点不连通的方案数。那么我们枚举此时与1号点连通的点的状态，其余的点与这个连通块均没有边相连，但是其余的点之间可以任意连边，所以有：

$f[S]=\sum\limits_{S‘ \subsetneq S}f[S‘]\times g[S - S‘ ]$

所以时间复杂度就是枚举子集的$O(n^3)$。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int n,m;
int c[20][20];
int v[20],p[20],ref[1<<16],Log[1<<16];
ll f[1<<16],g[1<<16];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int i,j,u;
	for(i=0;i<n;i++)	for(j=0;j<n;j++)	scanf("%d",&c[i][j]);
	for(i=0;i<n;i++)	Log[1<<i]=i;
	g[0]=1;
	for(i=1;i<(1<<n);i++)
	{
		ll tmp=1;
		for(u=Log[i&-i],j=i-(i&-i);j;j-=j&-j)	tmp=tmp*(c[u][Log[j&-j]]+1)%P;
		g[i]=g[i-(i&-i)]*tmp%P;
	}
	for(i=1;i<(1<<n);i++)
	{
		m=0;
		for(j=i-(i&-i);j;j-=j&-j)	p[m++]=j&-j;
		for(j=1;j<(1<<m);j++)
		{
			ref[j]=ref[j-(j&-j)]|p[Log[j&-j]];
			f[i]=(f[i]+f[i^ref[j]]*g[ref[j]])%P;
		}
		f[i]=(g[i]-f[i]+P)%P;
	}
	printf("%lld",f[(1<<n)-1]);
	return 0;
}