hdu CA Loves GCD(dp)

Posted 2020-07-03 mypride

一道我想骂人的题，差点把我气炸了。

题意：

求一个数的集合中（非多重集，每个数只出现一次）所有子集的gcd的和。结果MOD10^8+7输出。

 

输入输出不说了，自己看吧，不想写了。

 

当时我真把它当作数论题来写了，以为可以推导出什么公式然后化简大量重复的操作的。结果最后也没找到。最后题解说是dp，我同学说是暴力，吐血10升。

然后弄出来dp方程之后还是反复的wa，方程明明没啥问题，愣是卡了2个小时找不出错误，心情烦躁的要命，坑爹的室友还各种看视频打游戏，还不带耳机，我自己只好带着耳机大声放音乐，最后连音乐都听不下去了，恶心的想吐。

后来实在无奈了查了下题解，但是没人用dp写，有个用莫比乌斯反演的orz，还有个用暴力的，不过其实有dp的思想在里面。当然这不重要，重要的是我看见了他MOD加的位置挺有意思的，然后猛然想到我的int爆了！因为需要一个小于10^8的数×一个小于1000的数，这个数有可能爆！我叉！特么这不是故意卡int的意思吗？最后把这个改了终于过了……此时距离比赛结束已经5个小时了，我*！

 

状态转移方程：

dp[i][a[i]] += 1;

dp[i][j] += dp[i-1][j];

dp[i][gcd[j][a[i]]] += dp[i-1][j];

其中gcd[][]是预处理离线出来的，要不然可能会超时。

状态dp[i][j]表示在前n个数的集合中，gcd为j的集合有多少个。

方程表示三种情况：

1. 只有a[i]的集合。
2. 不存在a[i]，只存在前i-1个数中若干数的集合。
3. 存在a[i]，且存在前i-1个数中若干数的集合。

时间复杂度为O(n*maxn)，其中maxn为a[]数组中的最大值。

具体见代码——

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define LL long long
 7 
 8 const int N = 1010;
 9 const int Mod = 100000007;
10 
11 int a[N];
12 LL dp[N][N];
13 int gcd[N][N];
14 int t, n;
15 
16 int Gcd(int x, int y)
17 {
18     if(x < y)
19     {
20         int t = x;
21         x = y;
22         y = t;
23     }
24     while(y != 0)
25     {
26         int t = y;
27         y = x%y;
28         x = t;
29     }
30     return x;
31 }
32 
33 void Table()
34 {
35     for(int i = 1; i < 1005; i++)
36     {
37         for(int j = 1; j <= i; j++)
38         {
39             gcd[i][j] = gcd[j][i] = Gcd(i, j);
40         }
41     }
42 }
43 
44 int main()
45 {
46     //freopen("test.in", "r", stdin);
47     Table();
48     scanf("%d", &t);
49     for(int tm = 1; tm <= t; tm++)
50     {
51         scanf("%d", &n);
52         int maxn = 0;
53         for(int i = 0; i < n; i++)
54         {
55             scanf("%d", &a[i]);
56             maxn = maxn > a[i] ? maxn : a[i];
57         }
58         memset(dp, 0, sizeof(dp));
59         dp[0][a[0]] = 1;
60         for(int i = 1; i < n; i++)
61         {
62             dp[i][a[i]] += 1;                                       //转移方程1
63             for(int j = 1; j <= maxn; j++)
64             {
65                 dp[i][j] += dp[i-1][j];                             //转移方程2
66                 dp[i][gcd[j][a[i]]] += dp[i-1][j];                  //转移方程3
67                 dp[i][j] %= Mod;
68                 dp[i][gcd[j][a[i]]] %= Mod;
69             }
70         }
71         int ans = 0;
72         for(int i = 1; i <= maxn; i++)
73         {
74             ans += (dp[n-1][i]*i)%Mod;                  //这里小心dp如果是int可能会爆
75             ans %= Mod;
76         }
77 
78         printf("%d\n", ans);
79     }
80     return 0;
81 }

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自己确实挺弱的，还需要努力，但是今天确实非常烦！所有认为这些没什么好烦的，都是因为他没有身临其境的感觉。