数学(GCD,计数原理)HDU 5656 CA Loves GCD

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学(GCD,计数原理)HDU 5656 CA Loves GCD相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

CA Loves GCD

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问题描述
CA喜欢是一个热爱党和人民的优秀同♂志,所以他也非常喜欢GCD(请在输入法中输入GCD得到CA喜欢GCD的原因)。
现在他有N个不同的数,每次他会从中选出若干个(至少一个数),求出所有数的GCD然后放回去。
为了使自己不会无聊,CA会把每种不同的选法都选一遍,CA想知道他得到的所有GCD的和是多少。
我们认为两种选法不同,当且仅当有一个数在其中一种选法中被选中了,而在另外一种选法中没有被选中。
输入描述
第一行 T,表示有 T 组数据。
接下来 T 组数据,每组数据第一行一个整数 N,表示CA的数的个数,接下来一行 N 个整数 Ai?i?? 表示CA的每个数。
1≤T≤50, 1≤N≤1000, 1≤Ai≤10001 \le T \le 50,~1 \le N \le 1000,~1 \le A_i \le 10001T50, 1N1000, 1A?i??1000
输出描述
对于每组数据输出一行一个整数表示CA所有的选法的GCD的和对 100000007 取模的结果。
输入样例
2
2
2 4
3
1 2 3
输出样例
8
10
  这次的BestCoder没打,从没见过这么难的第二题。
  我们令dp[i][j]表示在前i个数中,选出若干个数使得它们的gcd为j的方案数,于是只需要枚举第i+1个数是否被选中来转移就可以了。
  令第i+1个数为v,当考虑dp[i][j]的时候,我们令$dp[i+1][j] += dp[i]j,dp[i+1][gcd(j,v)] += dp[i][j]
  复杂度O(N*MaxV) MaxV 为出现过的数的最大值。
  其实有O(MaxV *log(MaxV))的做法,我们考虑记f[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的倍数的方案数。假如有K个数是i的倍数,则f[i]=2^K-1,再用g[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的方案数,则g[i]=f[i] - g[j] (对于所有j是i的倍数)。
  由调和级数可以得到复杂度为O(MaxV *log(MaxV))
  
TLE的DP(MB卡常数):
 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=1010;
 6 const int mod=100000007;
 7 int dp[maxn][maxn],a[maxn];
 8 int Gcd(int a,int b){
 9     return b?Gcd(b,a%b):a;
10 }
11 int main(){
12     int T,n,maxv;
13     scanf("%d",&T);
14     while(T--){
15         memset(dp,0,sizeof(dp));
16         scanf("%d",&n);maxv=0;
17         for(int i=1;i<=n;maxv=max(maxv,a[i]),i++)
18             scanf("%d",&a[i]);
19         for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=1;
20         for(int i=1;i<=n;i++){
21             for(int j=0;j<=maxv;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j];
22             for(int j=0;j<=maxv;j++)
23                 (dp[i][Gcd(j,a[i])]+=dp[i-1][j])%=mod;
24         }
25         int ans=0;    
26         for(int j=1;j<=maxv;j++)
27             (ans+=dp[n][j]*j)%=mod;
28         printf("%d\n",ans);        
29     }
30     return 0;
31 }

第二种方法的AC程序:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=1010;
 6 const int mod=100000007;
 7 long long f[maxn],g[maxn],ans;
 8 int main(){
 9     int T,n;
10     scanf("%d",&T);
11     while(T--){
12         scanf("%d",&n);
13         memset(f,0,sizeof(f));
14         for(int i=1,x;i<=n;i++){
15             scanf("%d",&x);
16             for(int j=1;j<=x;j++){
17                 if(x%j==0)
18                     f[j]++;    
19             }
20         }
21         for(int i=1;i<=1000;i++){
22             long long ret=1;
23             for(int j=1;j<=f[i];j++)
24                 (ret*=2)%=mod;
25             ret-=1;    
26             f[i]=ret;
27         }
28         for(int i=1000;i>=1;i--){
29             g[i]=f[i];
30             for(int j=2*i;j<=1000;j+=i)
31                 (g[i]-=g[j])%=mod;
32         }
33         ans=0;
34         for(int i=1;i<=1000;i++)
35             (ans+=g[i]*i)%=mod;
36         printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);    
37     }
38     return 0;
39 }

以上是关于数学(GCD,计数原理)HDU 5656 CA Loves GCD的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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