数学笔记17——定积分的应用2(体积)

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  定积分除了计算面积外,还可以应用在计算体积上。

圆盘法

  一条曲线y = f(x),如果曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积,如下图所示:

曲线绕x轴旋转一周

  现在要计算体积。我们依然按照黎曼和切片的思路去计算,只不过这回需要一点想象力。

  将上图的矩形绕x轴旋转一周将得到一个半径为y,高度为dx的圆盘:

矩形框绕x轴旋转一周

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体积: Δv ≈ S(x)Δx,如果将整个图形的体积切成n个圆盘:

  这就是圆盘法。

示例

  求半径为a的球的体积。

  通过球体的公式可知,V =πa3(4/3),假设我们不知道这个公式,使用圆盘法求解。

  先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上,在对圆的上半部分切割,旋转,如下图所示:

  圆盘的底面积≈πy2,由此可以得到球体体积:

  还需要将y转换为x。根据上图中圆的公式(x – a)2 + y2 = a2,可得出y2 = 2ax - x2,于是:

  实际上我们得到了更多的信息,如果仅计算部分球体的体积,依然可以使用上面的结论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

  实际上可以把V = π(ax2 – x3/3)看作球体切片的公式。

壳层法

  假设坩埚内壁的横截面曲线是y = x2,深度是a,计算坩埚的容积。

计算坩埚的容积

  我们依旧可以使用圆盘法计算,这是这次是绕y轴旋转:

圆盘法

  圆盘的高度是Δy,所以需要将原函数转换成y关于x的函数,在正半轴上,x = y1/2

  对于本例来说,圆盘法没有问题,如果曲线的公式再复杂一点,就需要在反函数的转换上耗费时间,如果我们直接纵向切割,使用dx代替dy,就无需对原函数进行转换:

  矩形绕y轴旋转一周将得到一个圆环,其厚度是dx,半径是x,高度是a – x2,如下图所示:

  如果展开圆环,将得到一个底面积是圆环周长,高度是dx的长方体,其体积:

  由此,坩埚的容积是:

单位产生的悖论

  在计算坩埚的容积时,我们最终得到V = πa2/2,如果坩埚深度是1m,代入公式得到π/2(m3);现在将1m换成100cm,因为高度是一样的,所以我们期待得到同样的结果,但是代入公式后,最终得到10000π/2(cm3)= 0.01π/2(m3)相差了100倍!这回有意思了。

  问题出在哪呢?仔细观察最终结果的积分形式:

  积分的上限是a1/2,11/2 = 1,1001/2 = 10,因此单位不同将得到不同的结果。实际上这个公式违背了比例原则,将所有问题数学化的同时并没有考虑到物理学中的量纲。这就好比重力加速度是9.8,但这个9.8是有单位的,单位是米每二次方秒,如果长度单位采用厘米,这个常数9.8也需要相应变化才能适用。

示例

示例1

  求y = 5y=x2 + 1所围图形绕y轴旋转后得到的体积。

  用圆盘法计算,圆盘绕y轴旋转,如下图所示:

示例2

  求x=4y=x1/2x轴所围图形绕x=6旋转后得到的体积。

  本例根据壳层法计算,如下图所示:

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6 – x,厚度是dx:

 


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