数学知识复习：三重积分

Posted 2022-06-22 UQI-LIUWJ

1 直角坐标系中的三重积分

物体体积计算方法 

1.1 先定积分再二重积分

设D为Oxy平面上的区域，C是它的边界。

• 如果空间区域Ω是由区域D上的曲面 以及 以C为准线&母线，平行于x轴的柱面所围成
• 函数f(x,y,z)在Ω上连续

则

1.1.1 举例

计算,Ω是由 围成的区域。

 

使用极坐标变换，有：

 

 1.2 先二重积分再定积分

        若空间区域Ω介于平面z=a和平面z=b (a<b) 之间，平面与Ω相交于平面，则

1.2.1 1.1.1的第二种解法

 2 柱坐标系

设M为空间中一点，它在Oxy平面上的投影点P的极坐标为(r,θ)，它的z轴坐标为z。

我们称(r,θ,z)为M点的柱坐标。

直角坐标系和著坐标系(r,θ,z)之间的关系为

 坐标系转换 其中

3 球坐标系

设M为空间中一点，ρ表示点M到原点的距离，θ表示过点M与z轴的半平面与Oxz平面的夹角，φ表示z轴和向量OM的夹角。

是M的球坐标

所以直角坐标系(x,y,z)和球坐标的关系为：

采用球坐标计算三重积分，有

 

4 换元积分

和二重积分类似 

设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，如果变量替换 满足如下三个条件：

• 将uvw空间中的区域Ω'一一对应到Ω
• 变换函数x(u,v,w)，y(u,v,w)，z(u,v,w)在Ω'上连续，且有连续的一阶偏微商
• 雅可比行列式在Ω'上不取零值

则有换元公式

和二重积分一样，这个三个条件也可以稍微放宽一点