高斯分布

Posted 2020-10-13 凌晨一点

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了高斯分布相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

离散型

离散型随机变量的一切可能的取值

与对应的概率

成绩之和称为称为该离散型随机变量的数学期望^{(若该求和绝对收敛），记为。}
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

数学期望公式

离散型随机变量X的取值为

，

为X对应取值的概率，可理解为数据

出现的频率

则：

性质

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：

4.当X和Y相互独立时，

方差的定义

方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式：

为总体方差，

为变量，

为总体均值，

为总体例数。

实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式：

S^2= ∑(X-

) ^2 / (n-1)^[2]

S^2为样本方差，X为变量，

为样本均值，n为样本例数。

在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX，其中E(X)是X的期望值，X是变量值^[1] ，公式中的E是期望值expected value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。^[2] 离散型随机变量方差计算公式：

D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2) - [ E(X)]^2

当D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为变量X的方差，而

称为标准差（或均方差）。它与X有相同的量纲。标准差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量^[3] 。

对于连续型随机变量X，若其定义域为(a,b)，概率密度函数为f(x)，连续型随机变量X方差计算公式：

D(X)=

(x-μ)^2 f(x) dx^[2]

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大)

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

方差的性质

D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2) - [ E(X)]^2

1、设C是常数，则D（C）=0

2、设X是随机变量，C是常数，则有

3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则

其中协方差

特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则

此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

4、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即

（当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，D（X）=0。）

注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。

5、D(aX+bY)=a²DX+b²DY+2abCov(X,Y)。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。