[线性代数] 5.向量空间及其子空间

Posted 2020-10-12

向量空间（Vector Space）

用表示，表示n为向量空间

向量空间的性质：

向量空间内的向量进行相加相减，乘以或者除以一个标量，或者向量之间的线性组合得到的新向量还是位于该空间中。

 

非向量空间举例，如二维向量的第一象限空间，取其空间内任意一个向量，如，对该向量进行乘以-1，得到不在第一象限内，因此第一象限空间不是一个向量空间。

 

上面浅蓝部分的空间不是一个向量空间。

 

 

向量空间的子空间（sub-space）

向量空间的子空间需要满足：子空间内的向量进行相加相减，乘以或者除以一个标量，或者子空间向量之间的线性组合得到的新向量还是位于该子空间中。

 

举例：

上图中，绿色直线所在的向量空间是一个子空间，而红色直线所在的向量空间不是一个子空间，因此红色直线上某一个向量乘以0，得到的结果是向量，不位于红色直线所在的空间。

 

因此，空间的子空间有：1）空间本身2）经过原点的任何直线所在的空间3）原点

 

 参考：mit线性代数，Lec05_转置、置换、向量空间