bzoj1045[HAOI2008] 糖果传递

Posted 2020-07-02 YJY_

环形均分纸牌问题。用A[i]表示糖果数，sum表示目标的糖果数量。用X[i]表示从i + 1移动到i的糖果的个数（可+可-）。由此可以得到式子A[i] + X[i] - X[i - 1] = sum。我们可以得到这样的n - 1个方程（第n个可以由前n - 1个推导）。但是这样不足以求解。我们进行以下变形：
A[2] + X[2] - X[1] = sum => X[2] = X[1] + sum - A[2]
A[3] + X[3] - X[2] = sum => X[3] = X[2] + sum - A[3] = X[1] + (sum - A[2]) + (sum - A[3])
设W[1] = 0, W[2] = A[2] - sum, W[i] = W[i - 1] + A[i] - sum,则 X[i] = X[1] - W[i]
所以Ans = sigma (|X[1] - W[i]|), 1 <= i <= n
而这个式子的几何意义是找一个点，使得这个点到W[i]所对应的每一个点的距离的和最小。所以X[1]应该取W[i]的中位数。

 

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<ctime>

using namespace std;

 

typedef long long LL;

 

#define MAXN 1000010

 

int a[MAXN],c[MAXN];

int n;

LL sum,ans;

 

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for (int i=1;i<=n;i++)

    {

        scanf("%d",&a[i]);

        sum+=a[i];

    }

    sum/=n;

    for (int i=2;i<=n;i++)

        c[i]=c[i-1]+a[i]-sum;

    sort(c+1,c+n+1);

    int m=c[n>>1|1];

    for (int i=1;i<=n;i++)

        ans+=abs(c[i]-m);

    printf("%lld",ans);

    return 0;

}