[bzoj1045] [HAOI2008] 糖果传递

Posted 2021-02-09 hbyer

Description

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

第一行一个正整数nn<=1‘000‘000，表示小朋友的个数．

接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的糖果的颗数．

Output

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

Solution

设(x_i)表示第(i)个人给了第(i-1)个人多少，负数表示反着给，(x_1)表示(1)号给(n)号。

设(s=sum_{i=1}^{n}a_i/n)，即平均数。

所以显然可以得到一系列等式：
[ s=a_1-x_1+x_2s=a_2-x_2+x_3\vdots s=a_n-x_n+x_1 ]
但是注意到最后一个可以被前面的推出来，所以不能解出(x)，可以考虑用(x_1)表示剩下的(x)，得：
[ x_2=s-a_1+x_1x_3=2s-a_1-a_2+x_1\vdotsx_n=a_n-s+x_1=(n-1)s-sum_{i=1}^{n-1}a_i+x_1 ]
然后可以发现前面那一块可以(O(n))算出来，设为(c_i)，那么问题就转化为了最小化：
[ f(x)=sum_{i=1}^{n}|c_i-x| ]
这个可以看成一维数轴上一个点和一堆确定的点的距离和，取中点就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}

const int maxn = 1e6+10;

int n,a[maxn],c[maxn],ans;

signed main() {
    read(n);int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),sum+=a[i];sum/=n;
    for(int i=2;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+sum-a[i-1];
    int mid=(n+1)>>1;nth_element(c+1,c+mid,c+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(c[mid]-c[i]);write(ans);
    return 0;
}