第二类Stirling数

Posted 2020-10-10

第二类斯特林数

第二类Stirling数：S2(p, k)

1.组合意义：第二类Stirling数计数的是把p个互异元素划分为k个非空集合的方法数

2.递推公式：

S2(0, 0) = 1

S2(p, 0) = 0 ( p >= 1)  显然p >= 1时这种方法不存在

S2(p, p) = 1  显然这时每个元素看为一个集合

S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1)

考虑将1，2，3，...，p划分为k个非空集合，考虑p

⑴将p单独划分为一个集合，此时的方案数等于将1，2，3，...，p -1划分为k - 1个非空集合的方案树，及S2(p - 1, k - 1)。

⑵将p和其他元素放一块，先考虑将1，2，3，..., p - 1划分为k个非空集合，此时p有k种放法，即k * S2(p - 1, k)。

故 S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1)

3.类pascal三角形：如二项式那样，可以构造这些Stiring数S2(p, k)的类pascal三角形。

	0	1	2	3	4	5	6	...
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.通项公式：

先把这k个集合看为互异的，则可以通过容斥原理计算将p个元素放入k个互异集合的个数，再除以k！即可(公式不好打。。。)

 

bell数：

1.组合意义：将p个元素划分为若干集合的方法数。

2.B(p) = S2(p, 0) + S2(p, 1) + S2(p, 2) + ... + S2(p, p)

集合数显然不能超过p，故bell数即为Stirling数求和

3.递推公式：其中C(n, m)表示n元集中m元子集的个数

B(p) = C(p - 1, 0) * B(0) + C(p - 1, 1) * B(1) + ... + C(p - 1, p - 1) * B(p - 1)

把集合{1, 2, 3, 4, ..., p}划分为若干集合的方法数，考虑元素p

若令p所在集合有p - k个元素，则剩下的元素为k个，在p - 1个元素中选k个，故此时有C(p - 1, k) * B(k) 个方案，求和即可

 

第一类Stirling数为把p个元素划分为k个非空循环排列的方案数。

S1(p, k) = (p - 1) * S1(p - 1, k) + S1(p - 1, k - 1)

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