第二类Stirling数初探 By cellur925

Posted 2021-01-07 nopartyfoucaodong

上午noi.ac崩崩崩了，栽在组合数学上，虽说最后在辰哥&Chemist的指导下A掉了此题，也发现自己组合数学太弱了qwq。

在luogu上找题，结果找到了一个第二类斯特林数的题（还是双倍经验，逃。）

 

一、什么是第二类Stirling数

第二类斯特林数 S(n，k)：把 n 个元素划分成 k 个集合的方案数。 

这个问题说的实际一点，就比如说，有n个互异的小球，把他们放入m个盒子里，盒子里不允许为空的方案数。我们设s(i,j)表示放到i个小球，j个盒子的方案数。

那么对于每个小球，当前我们有两种放法：

　　第一种，我们把它放进一个现在盒子里没球的盒子中，这部分是s(i-1,j-1)

　　第二种，我们把它放进一个现在盒子里有球的盒子中，因为有j个盒子，所以这部分是  j  *  s （i-1,j）

　　那么将二者 加起来就是我们要求的解。

即

二、丢几道例题跑

LuoguP3904三只小猪  比较裸啦=w=。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 
 7 ll n,m;
 8 int len;
 9 int ans[1000];
10 int s[100][100][1000];
11 
12 ll lmin(ll a,ll b)
13 {
14     if(a<b) return a;
15     else return b;
16 }
17 
18 void bigcalc(int x,int y)
19 {
20     if(y>x) return ;
21     if(x==1&&y==1) return ;
22     int tmp=0;
23     for(int i=1;i<=len;i++) ans[i]=0;
24     len=1;
25     for(int i=1;i<=s[x-1][y][0];i++)
26     {
27         ans[i]=s[x-1][y][i]*y+tmp;
28         tmp=ans[i]/10;
29         ans[i]%=10;
30     }
31     len=s[x-1][y][0];
32     if(tmp) ans[++len]=tmp;
33     s[x][y][0]=1;
34     tmp=0;
35     while(s[x][y][0]<=s[x-1][y-1][0]||s[x][y][0]<=len)
36     {
37         s[x][y][s[x][y][0]]=s[x-1][y-1][s[x][y][0]]+ans[s[x][y][0]]+tmp;
38         tmp=s[x][y][s[x][y][0]]/10;
39         s[x][y][s[x][y][0]]%=10;
40         s[x][y][0]++;
41     }
42     s[x][y][s[x][y][0]]=tmp;
43     if(s[x][y][s[x][y][0]]==0&&s[x][y][0]!=1) s[x][y][0]--;
44 }
45 
46 int main()
47 {
48     scanf("%lld%lld",&n,&m);
49     if(n<m) {printf("0");return 0;}
50     if(n==m) {printf("1");return 0;}
51     s[1][1][0]=1;s[1][1][1]=1;
52     for(int i=2;i<=n;i++)
53         for(int j=1;j<=lmin(i,m);j++)
54             bigcalc(i,j);
55     for(int i=s[n][m][0];i>=1;i--)
56         printf("%d",s[n][m][i]);
57     return 0;
58 }

View Code

LuoguP1655小朋友的球 上面题的二倍经验

三、一些变体

（来自baidubaike==）