算法分析| 小o和小ω符号

Posted 2020-10-10

渐近分析的主要思想是对不依赖于机器特定常数的算法的效率进行测量，主要是因为该分析不需要实现算法并且要比较程序所花费的时间。我们已经讨论了三个主要的渐近符号。使用以下2个渐近符号表示算法的时间复杂度。

小ο渐近符号

大O被用作算法努力的增长的紧密上限（这个努力由函数f（n）描述），尽管如上所述，它也可以是松散的上限。“ο”（ο（））表示法用于描述不能紧的上限。

定义：令f（n）和g（n）是将正整数映射到正实数的函数。如果对于任何实常数c> 0，则f（n）是ο（g（n））（或f（n）∈（g（n））），存在整数常数n0≥1，使得f （n）0. 它的意思是小o（）表示f（n）的松散上限。 在数学关系中， f（n）= o（g（n））表示 lim f（n）/ g（n）= 0 n→∞

例如：

7n + 8∈o（n ²）？
为了这样做，对于任何c，我们必须能够找到使
f（n）<c * g（n）渐近为真的n0 。
让我们举个例子，
如果c = 100，我们检查不平等是否明确。如果c = 1/100，我们将不得不使用
更多的想象力，但是我们可以找到一个n0。（尝试n0 = 1000.）从
这些例子中，推测似乎是正确的。
然后检查限制，
lim f（n）/ g（n）= lim（7n + 8）/（n ²）= lim 7 / 2n = 0（l‘hospital）
n→∞   n→∞  n→∞

因此7n + 8∈o（n ²）

小的ω渐近符号

定义： 令f（n）和g（n）是将正整数映射到正实数的函数。我们说f（n）是ω（g（n））（或f（n）∈ω（g（n）））如果对于任何实常数c> 0，存在整数常数n0≥1， （n）> c * g（n）≥0，对于整数n≥n0。

f（n）具有比g（n）更高的增长率，因此大欧米茄（Ω）和小欧米茄（ω）之间的主要差异在于它们的定义。在大欧米茄f（n）=Ω（g（n ）），并且边界为0 <= cg（n）0，但是在小的Ω的情况下，对于所有常数c> 0都是如此。

我们使用ω表示法来表示不渐近紧的下界。
f（n）∈ω（g（n））当且仅当g（n）∈ο（（f（n））），

在数学关系中，
如果f（n）∈ω ，

lim f（n）/ g（n）=∞

n→∞示例：

证明4n + 6∈ο（1）; 
ω（ο）运行时间可以通过应用下面给出的限制公式来证明。
如果lim f（n）/ g（n）=∞，则函数f（n）为ο（g（n））
n→∞ 
这里，我们有函数f（n）= 4n + 6和g（n）= 1 
lim（4n + 6）/（1）=∞
n→∞ ，对于任何c，我们可以得到n0为这个不等式0 <= c * g（n）<f（n），0 <= c * 4n + 6 
因此证明。