渐进记法（O，Ω，Θ）

Posted 2020-08-09 寻觅beyond

第一次在《算法导论》中看到这三种渐进记法的符号，当时对此一窍不通，所以也就没有注意它们，直接把他们忽略了，知道学习算法的时候，才知道当初的做法有多傻，因为一个算法的好坏以及复杂度，可以用它们来表示。现在我学习过程当中用的最多的是O（g(n)），大概是老师认为我们还不具有算法设计分析与优化的能力吧。

先声明一下：本文不会对算法的时间复杂度和空间复杂度进行讨论，大家可以查看别的博客。^_^

好了，首先介绍一下这三个符号吧。

符号	含义
O	渐进小于或等于
Ω	渐进大于或等于
Θ	渐进等于

其实大家一看到本文的标题，就应该猜到这几个符号的用法与高等数学有关，因为“渐进”两个字，比如在高等数学中经常听到渐进线之说。

请看以下两个举例：

如果a=x^2+x,b=x^2+5,则称a与b是相同等级的，且a渐进等于b；

如果a=x^2+x,b=x^3+5，则称a与b不是相同等级的，且a渐进小于或等于b，b渐进大于或等于a。

其中判断a和b是不是两个相同等级的，是依靠比较两个式子中自变量最高的次数，a=x^2+x中自变量最高次数为2，b=x^3+5中自变量最高次数为3。

如果两个自变量的最高次数相同，则说明它们是相同等级的，即他们俩渐进相等，如果其中一个的次数比另一个高，则称次数低的一个式子渐进小于或等于次数高的式子，次数高的一个式子渐进大于或等于次数低的式子。注意不要关注他们的系数谁大谁小。

现在用符号表示语言：

a=x^2+x,b=x^2+5；====>a=Θ(b);

a=x^2+x,b=x^3+5；====>a=O(b)或者b=Ω（a）；

其实，这个只要明白比较的是什么就能理解三个符号的含义及用法了。

简记为：O表示上界，Ω表示下界，Θ表示平行。