数论 逆元求解（扩展欧几里得算法+费马小定理）

Posted 2020-10-10

看数论看得头皮发麻，o(╥﹏╥)o，总算理解了一些东西。（推荐一个dalao博客，个人感觉他的博客易懂点，可能是那些颜文字的作用（逃...））

在看逆元之前我们先来看个同余方程的定理吧

 

同余定理：a和b取余p得到相同的余数，a≡b(mod p)  等价于 （a-b）/p得到一个整数。（其实个人感觉写成 （a mod p）≡（b mod p） 更好理解）

 

 

逆元（数论倒数）：对于正整数a和p，如果有ax≡1（mod p），那么把这个同余方程中x的最小正整数解称为a mod p的逆元。

为什么叫数论倒数呢，因为没有mod操作，那么x就相当于a的倒数，有mod操作时效果上和倒数一样。

同时我们把a的逆元写做：inv（a）

 

求解逆元：

1.费马小定理：a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同时除以a，a^(p-2) ≡inv（a）(mod p)。即inv（a）≡a^(p-2)(mod p)

 1 typedef long long LL;
 2 LL fast_mod(LL x,LL n,LL mod){
 3     LL ans=1;
 4     while(n>0){
 5         if(n&1) ans=(ans*x)%mod;
 6         x=(x*x)%mod;
 7         n>>=1;
 8     }
 9     return ans;
10 }
11 LL Fermat(LL a,LL b){
12     return fast_mod(a,p-2,p);
13 }

2.扩展欧几里得：a*x + b*y = 1

解x就是a关于b的逆元，解y就是b关于a的逆元

a*x % b + b*y % b = 1 % b

a*x % b = 1 % b

a*x = 1 (mod b)

 1 typedef long long LL;
 2 LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
 3     LL d=a;
 4     if(b!=0){
 5         d=e_gcd(b,a%b,y,x);
 6         y-=(a/b)*x;
 7     }    
 8     else{x=1;y=0;}
 9     return d;
10 }
11 
12 LL inv(LL t,LL p){
13     LL x,y;
14     if(e_gcd(t,p,x,y)==1) return (x%p+p)%p;
15     else return -1;
16 }