数论笔记-同余

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数论笔记-同余相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

目录

同余

带余数除法

带余数除法的定义与基本性质

定义 对于整数 \\(a,b\\) ，一定存在整数 \\(q,r\\) 满足 \\(a = bq + r\\) ，其中 \\(r\\) 与 \\(a\\) 同号且 \\(|r| \\in [0,b)\\) ，称 \\(q\\) 为 \\(a\\) 除以 \\(b\\) 的商， \\(r\\) 为 \\(a\\) 除以 \\(b\\) 的余数。

通常我们定义 \\(b\\) 是正整数，但为了和c++语法统一，因此修改了定义。

模运算的定义 \\(a \\bmod b\\) 表示 \\(a\\) 除以 \\(b\\) 的余数 \\(r\\) ，符号和 \\(a\\) 一致，运算优先级同乘除。

模 \\(m\\) 加法 \\((a+b) \\bmod m\\) 。

模 \\(m\\) 减法 \\((a-b) \\bmod m\\) 。

模 \\(m\\) 乘法 \\(ab \\bmod m\\) 。

性质1 \\(a \\bmod b = a - b\\times \\lfloor \\fracab\\rfloor\\) 。

性质2

\\[\\beginaligned a \\bmod m \\pm b \\bmod m &= (a\\pm b) \\bmod m\\\\ (a \\bmod m) \\cdot (b \\bmod m) &= ab \\bmod m\\\\ (a \\bmod m)^k &= a^k \\bmod m \\endaligned \\]

性质3 \\(a \\bmod n = a\\bmod m = x\\) 且 \\(\\gcd(n,m) = 1\\) ，则 \\(a \\bmod nm = x\\)

模运算加速算法

龟速乘

用于可能爆 long long 数字的乘法取余。

不过一般可以用 __int128 替代了。

时间复杂度 \\(O(\\log b)\\)

空间复杂度 \\(O(1)\\)

const int P = 1e9 + 7;
ll qmul(ll a, ll b) 
    ll ans = 0;
    while (b) 
        if (b & 1) ans = (ans + a) % P;
        b >>= 1;
        a = (a << 1) % P;
    
    return ans;

快速幂

幂取余，\\(a\\) 越大速度越慢。

时间复杂度 \\(O(\\log k)\\)

空间复杂度 \\(O(1)\\)

const int P = 1e9 + 7;
ll qpow(ll a, ll k) 
    ll ans = 1;
    while (k) 
        if (k & 1) ans = ans * a % P;
        k >>= 1;
        a = a * a % P;
    
    return ans;

矩阵快速幂

矩阵幂取余。

时间复杂度 \\(O(n^3 \\log k)\\)

空间复杂度 \\(O(1)\\)

const int P = 1e9 + 7;
struct Matrix 

    int n, m;//不能const，快速幂要复制
    vector<vector<ll>> mat;

    explicit Matrix(int _n):n(_n), m(_n), mat(_n + 1, vector<ll>(_n + 1)) 
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            for (int j = 1;j <= m;j++)
                mat[i][j] = i == j;
    //初始化n阶单位矩阵，explicit防止误用类型转换

    Matrix(int _n, int _m):n(_n), m(_m), mat(_n + 1, vector<ll>(_m + 1)) //初始化nxm零矩阵

    friend Matrix operator*(const Matrix &A, const Matrix &B) 
        Matrix ans(A.n, B.m);
        if (A.m != B.n) return ans;
        for (int i = 1;i <= A.n;i++)
            for (int j = 1;j <= B.m;j++)
                for (int k = 1;k <= A.m;k++) //a.m == b.n
                    ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) % P;
        return ans;
    //矩阵乘法取余

    friend Matrix operator^(Matrix A, ll k) 
        Matrix ans(A.n);//A必须是方阵
        while (k) 
            if (k & 1) ans = ans * A;
            k >>= 1;
            A = A * A;
        
        return ans;
    //快速幂取余

    void output() const 
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                cout << mat[i][j] << \' \';
            cout << \'\\n\';
        
        cout << \'\\n\';
    //输出检测
;

同余的定义与基本性质

定义 若整数 \\(a,b\\) 模 \\(m\\) 相等，则称 \\(a,b\\) 模 \\(m\\) 同余，记作 \\(a \\equiv b \\pmod m\\) 。

以下讨论均为整数。

性质1（自反性） \\(a \\equiv a \\pmod m\\) 。

性质2（对称性） \\(a\\equiv b \\pmod m \\iff b \\equiv a \\pmod m\\) 。

性质3（传递性） \\(a \\equiv b \\pmod m,b \\equiv c \\pmod m \\Rightarrow a \\equiv c \\pmod m\\) 。

性质4（同加性）

\\[\\beginaligned a \\equiv b \\pmod m &\\iff a \\pm c \\equiv b \\pm c \\pmod m\\\\ a \\equiv b \\pmod m,c \\equiv d \\pmod m &\\iff a \\pm c \\equiv b \\pm d \\pmod m \\endaligned \\]

性质5（同乘性）

\\[\\beginaligned a \\equiv b \\pmod m &\\Rightarrow ac \\equiv bc \\pmod m\\\\ a \\equiv b \\pmod m,c \\equiv d \\pmod m &\\Rightarrow ac \\equiv bd \\pmod m \\endaligned \\]

性质6（同幂性） \\(a \\equiv b \\pmod m \\Rightarrow a^k \\equiv b^k \\pmod m\\) ，其中 \\(k \\geq 0\\)。

性质7（特殊同除性） \\(a \\equiv b \\pmod m \\Rightarrow \\dfracad \\equiv \\dfracbd \\pmod \\dfracm\\gcd(m,d)\\) ，其中 \\(d\\) 满足 \\(d \\mid a,d \\mid b\\) 。

性质8 \\(a \\equiv b \\pmod m,m\' \\mid m \\Rightarrow a \\equiv b \\pmod m\'\\) 。

性质9 \\(a \\equiv b \\pmod m_i(i = 1,2,\\cdots,n) \\iff a \\equiv b \\pmod M ,M = \\textlcm(m_1,m_2,\\cdots,m_n)\\) 。

性质10 \\(a \\equiv b \\pmod m \\Rightarrow \\gcd(a,m) = \\gcd(b,m)\\) 。

同余类与剩余系的定义与基本性质

同余类的定义 对于 \\(a \\in [0,m-1]\\) ，集合 \\(\\a + km\\,k \\in \\Z\\) 的所有数模 \\(m\\) 同余 \\(a\\) ，称这个集合为模 \\(m\\) 的一个同余类 \\(\\overline a\\) 。

完全剩余系的定义 模 \\(m\\) 的同余类有 \\(m\\) 个，分别为 \\(\\overline 0,\\overline 1,\\cdots ,\\overline m-1\\) ，它们构成了 \\(m\\) 的完全剩余系。

既约剩余系的定义 模 \\(m\\) 的同余类有 \\(\\varphi(m)\\) 个的代表元与 \\(m\\) 互质，它们构成了 \\(m\\) 的既约剩余系（简化剩余系）。

\\(\\varphi(m)\\) 为欧拉函数，下一节会讲到。

性质1 设 \\(S\\) 是模 \\(m\\) 的一个完全剩余系，若 \\(\\gcd(k,m) = 1\\) ，则 \\(S\' = \\x\' \\mid x\' = kx+b,x\\in S \\\\) 也是模 \\(m\\) 的一个完全剩余系。

性质2 设模 \\(m_1\\) 的完全剩余系为 \\(S_1\\) ，模 \\(m_2\\) 的完全剩余系为 \\(S_2\\) ，且 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，则模 \\(m = m_1m_2\\) 的完全剩余系为 \\(S = \\x\\mid x = m_2x_1 + m_1x_2,x_1 \\in S_1,x_2 \\in S_2\\\\) 。

性质3 设 \\(S\\) 是模 \\(m\\) 的一个既约剩余系，若 \\(\\gcd(k,m) = 1\\) ，则 \\(S\' = \\x\' \\mid x\' = kx,x\\in S \\\\) 也是模 \\(m\\) 的一个既约剩余系。

性质4 设模 \\(m_1\\) 的既约剩余系为 \\(S_1\\) ，模 \\(m_2\\) 的既约剩余系为 \\(S_2\\) ，且 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，则模 \\(m = m_1m_2\\) 的既约剩余系为 \\(S = \\x\\mid x = m_2x_1 + m_1x_2,x_1 \\in S_1,x_2 \\in S_2\\\\) 。

推论1（性质4的推论） \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1 \\Rightarrow \\varphi(m_1m_2) = \\varphi(m_1)\\varphi(m_2)\\) ，即欧拉函数是积性函数。

性质1的证明：

假设存在 \\(kx_i + b \\equiv kx_j + b \\pmod m\\) ，则 \\(kx_i \\equiv kx_j \\pmod m\\) 。因为 \\(\\gcd(k,m) = 1\\) ，所以 \\(x_i \\equiv x_j \\pmod m\\) ，\\(x_i,x_j\\) 属于一个同余类，矛盾。综上，得证。

性质2的证明：

假设存在 \\(m_2x_1 + m_1x_2 \\equiv m_2x_1\'+m_1x_2\' \\pmod m\\) ，那么 \\(m_2(x_1-x_1\') \\equiv m_1(x_2\'-x_2) \\pmod m\\) 。因为 \\(m_1 \\mid m\\) ，所以 \\(m_2(x_1-x_1\') \\equiv m_1(x_2\'-x_2) \\equiv 0 \\pmod m_1\\) ，又 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，所以 \\(x_1-x_1\' \\equiv 0 \\pmod m_1\\) ，矛盾。综上，得证。

性质3的证明：

根据性质1证明，类似可得 \\(S\'\\) 一定是 \\(m\\) 的一个剩余系，且有 \\(\\varphi(m)\\) 个元素，接下来只需证明任意元素都与 \\(m\\) 互质。

任意 \\(x \\in S\\) ，有 \\(\\gcd(x,m) = 1\\) ，又 \\(\\gcd(k,m) = 1\\) ，所以 \\(\\gcd(kx,m) = 1\\) ，所以 \\(S\'\\) 是模 \\(m\\) 的既约剩余系。

性质4的证明：

根据性质2证明，类似可得 \\(S\\) 一定是模 \\(m\\) 的一个剩余系，且有 \\(\\varphi(m_1)\\cdot\\varphi(m_2)\\) 个元素，但我们并不知道 \\(\\varphi(m_1)\\cdot\\varphi(m_2) = \\varphi(m_1m_2)\\) ，因此我们证明 \\(S\\) 的元素都与 \\(m\\) 互质只能说明 \\(S\\) 是模 \\(m\\) 的既约剩余系的一个子集，我们还需要证明模 \\(m\\) 的既约剩余系是 \\(S\\) 的一个子集。

若 \\(\\gcd(x_1,m_1) = \\gcd(x_2,m_2) = 1\\) ，又 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，因此 \\(\\gcd(m_2x_1,m_1) = \\gcd(m_1x_2,m_2) = 1\\) ，所以 \\(\\gcd(m_2x_1 + m_1x_2,m_1) = \\gcd(m_1x_2+m_2x_1,m_2) = 1\\) ，于是 \\(\\gcd(m_1x_2+m_2x_1,m_1m_2) = 1\\) ，即 \\(S\\) 是模 \\(m\\) 的既约剩余系的子集。

因为 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，因此 \\(m_2x_1+m_1x_2\\) 可以表达所有整数。那么令模 \\(m\\) 的既约剩余系的元素为 \\(m_2x_1+m_1x_2\\) ，则 \\(\\gcd(m_2x_1+m_1x_2,m_1m_2) = 1\\) ，因此 \\(\\gcd(m_2x_1+m_1x_2,m_1) = \\gcd(m_2x_1+m_1x_2,m_2) = 1\\) ，所以 \\(\\gcd(m_2x_1,m_1) = \\gcd(m_1x_2,m_2) = 1\\) ，又 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ，于是 \\(\\gcd(x_1,m_1) = \\gcd(x_2,m_2) = 1\\) ，即模 \\(m\\) 的既约剩余系是 \\(S\\) 的子集。

综上 \\(S\\) 就是模 \\(m\\) 的既约剩余系。

推论1的证明：

由性质4，可得 \\(S\\) 的元素个数是 \\(\\varphi(m_1)\\varphi(m_2)\\) ，而模 \\(m\\) 的既约剩余系的元素个数是 \\(\\varphi(m_1m_2)\\) 。因此，当 \\(\\gcd(m_1,m_2) = 1\\) ， \\(\\varphi(m_1m_2) = \\varphi(m_1)\\varphi(m_2)\\) ，即欧拉函数是积性函数。

欧拉函数

欧拉函数的定义与基本性质

定义 \\([1,n]\\) 中与 \\(n\\) 互质的个数记作 \\(\\varphi(n)\\) 。

性质1 \\(\\varphi(p) = p-1\\) ，其中 \\(p\\) 为素数。

性质2 \\(\\varphi(p^k) = p^k - p^k-1\\) ，其中 \\(k\\in \\Z^+\\) ， \\(p\\) 为素数。

性质3 欧拉函数是积性函数，即 \\(\\gcd(a,b) = 1 \\Rightarrow \\varphi(ab) = \\varphi(a)\\cdot \\varphi(b)\\) 。

性质4 int 范围内欧拉函数的最大值为 \\(1600\\) 。

由性质1、2、3可以得到引理：

引理1（欧拉函数的展开式）

\\[\\beginaligned \\varphi(n) &= \\varphi\\bigg( \\prod_i = 1^k p_i^c_i \\bigg)\\\\ &= \\prod_i = 1^k\\varphi (p_i^c_i) \\\\ &= \\prod_i = 1^k (p_i^c_i-p_i^c_i-1)\\\\ &= n\\prod_p\\mid n\\bigg(1-\\frac1p\\bigg) \\endaligned \\]

其中 \\(p\\) 是素数。

欧拉函数的求法

试除法

线性筛求欧拉函数

欧拉函数的其他性质

同余重要定理

费马小定理

欧拉定理

威尔逊定理

二元一次不定方程

二元一次不定方程的定义与基本性质

裴蜀定理

解二元一次不定方程

扩展欧几里得算法

类欧几里得算法

乘法逆元

乘法逆元的定义与基本性质

乘法逆元的求法

费马小定理法

扩展欧几里得法

线性求乘法逆元

线性求阶乘逆元

一元一次同余方程

一元一次同余方程的定义与基本性质

解一元一次同余方程

扩展欧几里得算法

解一元一次同余方程组

中国剩余定理

扩展中国剩余定理

以上是关于数论笔记-同余的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数论学习笔记2Continuously Update…

[基础数论]不定方程笔记

数论及其应用——同余式定理

《夜深人静写算法》数论篇 - (11) 线性同余

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数论（同余+hash）