基础数论知识总结

Posted 2022-09-07 77458

$1.$费马小定理与扩展欧几里得在乘法逆元上的运用

费马小定理

$$a^phi(n) - 1\\equiv1\\pmod n$$

扩展欧几里得

$$a\\cdot x\\equiv1\\pmod n$$

乘法逆元

针对$\\colorred\\fracba\\mod n$这种除法取模，将它转换为乘法取模，我们需要用到之前的费马小定理和扩展欧几里得，这两种方法都可以将除法取模变为乘法取模，什么时候用哪种，后续会说到

费马小定理处理乘法逆元

$$f(n)=\\fracba \\mod n\\qquad (1)$$
$$a^phi(n) - 1\\equiv1\\pmod n\\qquad (2)$$
$$1=h(n)=a^phi(n) - 1\\mod n\\quad (3)\\leftarrow (2)$$
由 $f(n)$和 $h(n)$相乘可以得到如下公式:
$$f(n)\\cdot h(n)=f(n)\\cdot1=\\colorblueb\\cdot a^phi(n)-2\\mod n\\qquad (4)$$
其中 $phi(n)$为欧拉函数即小于n并且与n互质的个数
如果 $n$为质数的话,$phi(n)$很明显为 $n-1$,因为任意正整数都要质数互质，所以公式就变成了 $\\colorredb\\cdot a^n-2$
如此我们就可以通过快速幂来处理 $\\colorredb\\cdot a^n-2$

扩展欧几里得处理乘法逆元

$$f(n)=\\fracba \\mod n\\qquad (1)$$
$$a\\cdot x\\equiv1\\pmod n\\qquad (2)$$
$$1=h(n)=a\\cdot x\\mod n\\quad (3)\\leftarrow\\quad (2)$$
由 $f(n)$和 $h(n)$相乘可以得到如下公式:
$$f(n)\\cdot h(n)=f(n)\\cdot1=\\colorblueb\\cdot x\\mod n\\qquad (4)$$

求出$x$后就可以将$\\fracba\\mod n$求出.

在求解 x