斐波那契数列第N项f(N)[矩阵快速幂]

Posted 2020-10-09

矩阵快速幂

　　定义矩阵A（m*n），B（p*q），A*B有意义当且仅当n=p。即A的列数等于B的行数。

　　且C=A*B，C（m*q）。

　　例如：

　　进入正题，由于现在全国卷高考不考矩阵，也没多大了解。因为遇到了斐波那契这题...

　　注意到： F_n+1=F_n+F_n-1

　　我们会有：

　　则：

　　所以我们只需要想办法求矩阵A的幂，这时候我们当然想要用快速幂。

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代码部分：

定义矩阵：

struct matrix{
    ll a[3][3];
};

（类比整数的快速幂）预处理：

[我们需要一类似于1的矩阵：]

『1 0 0

    0 1 0

    0 0 1』类似这种操作...

void init(){
        int i,j;
        memset(res.a,0,sizeof res.a);
        for(i=1;i<=2;i++) res.a[i][i]=1;
        base.a[1][1]=1;
        base.a[1][2]=1;
        base.a[2][1]=1;
        base.a[2][2]=0;
}

矩阵乘法：[就该题而言]

matrix mul(matrix p,matrix q){
        int i,j,k;
        matrix m;
        memset(m.a,0,sizeof m.a);
        for(i=1;i<=2;i++)
            for(j=1;j<=2;j++)
                for(k=1;k<=2;k++)
                    m.a[i][j]=(m.a[i][j]+p.a[i][k]*q.a[k][j])%Mod;
        return m;
}

快速幂：

void mfpow(ll p){
        init();
        while(p){
            if(p&1) res=mul(base,res);
            base=mul(base,base);
            p>>=1;
        } 
 }

全部的代码：（lowbee的难免会差一些，请大佬们见谅...）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll ;
 6 inline ll read();
 7 const ll Mod = 1e9 + 7 ;
 8 struct matrix{
 9     ll a[3][3];
10 };
11 matrix res,base;
12 ll ans;
13 ll c[3];
14 ll n;
15 namespace lys{
16     void init(){
17         int i,j;
18         memset(res.a,0,sizeof res.a);
19         for(i=1;i<=2;i++) res.a[i][i]=1;
20         base.a[1][1]=1;
21         base.a[1][2]=1;
22         base.a[2][1]=1;
23         base.a[2][2]=0;
24     }
25     matrix mul(matrix p,matrix q){
26         int i,j,k;
27         matrix m;
28         memset(m.a,0,sizeof m.a);
29         for(i=1;i<=2;i++)
30             for(j=1;j<=2;j++)
31                 for(k=1;k<=2;k++)
32                     m.a[i][j]=(m.a[i][j]+p.a[i][k]*q.a[k][j])%Mod;
33         return m;
34     }
35     void mfpow(ll p){
36         init();
37         while(p){
38             if(p&1) res=mul(base,res);
39             base=mul(base,base);
40             p>>=1;
41         } 
42     }
43     int main(){
44         int k;
45         n=read();
46         mfpow(n-1);
47         c[1]=1;
48         c[2]=0;
49         for(k=1;k<=2;k++)
50             ans=(ans+res.a[1][k]*c[k])%Mod;    
51         cout<<ans<<endl;    
52         return 0;    
53     }
54 }
55 int main(){
56     lys::main();
57     return 0;
58 }
59 inline ll read(){
60     ll k=0,f=1;
61     char c=getchar();
62     while(c<‘0‘||c>‘9‘){
63         if(c==‘-‘)
64             f=-1;
65         c=getchar();
66     }
67     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){
68         k=k*10+c-‘0‘;
69         c=getchar();
70     }
71     return k*f;
72 }

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题目链接[luogu]：

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1962