快速求斐波那契数列（矩阵乘法+快速幂）

Posted 2020-08-19

斐波那契数列

给你一个n；f(n)=f(n-1)+f(n-2)

请求出 f(f(n))，由于结果很大请

对答案 mod 10^9+7;

1<=n<=10^100;

 

用矩阵乘法+快速幂求斐波那契数列是经典应用；

矩阵公式 C i j=C i k *C k j;

根据递推式 构造2*2矩阵；

原始矩阵

1 0

0 1

矩阵 2

1 1

1 0

原始矩阵与矩阵 2相乘达到转化状态效果；

对矩阵二进行快速幂 乘法；达到快速转化矩阵的效果；

即使达到快速转化状态；那么大的数据范围也很难求解；

高精？这有一种不用高精的方法；

打个暴力 求循环节；

即 f(f(n))%mod同余f(f(n%k)%p)%mod;

暴力求k p 即可;

k=6e9+6；p=2e9+2；

以下暴力程序

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL  f[100005],k;
int main(){
	f[1]=1;k=1;
	while (1){
		k++;
		f[2]=(f[1]+f[0])%1000000007;
		if (f[2]==2) {
			printf("%lld\n",k);
		}
		f[0]=f[1];
		f[1]=f[2];
	}
}

　AC 程序

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
#define ll long long 
int T,i,j,k;
ll n;
ll a[2][2],b[2][2],c[2][2],f[2][2];
char ch;
void Mod(ll mo)
{
	n=0;
	ll q=getchar();
	while(q<48||q>57)q=getchar();
	while(q>=48&q<=57)
	{
		n=(n*10+q-48)%mo;
		q=getchar();
	}
}
void mul(ll a[2][2],ll b[2][2],ll mo)
{
	ll c[2][2]={0};
	for(i=0;i<2;++i)
	for(j=0;j<2;++j)
	for(k=0;k<2;++k)
	c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mo)%mo;
	for(i=0;i<2;++i)
	for(j=0;j<2;++j)
	a[i][j]=c[i][j];
}
int main()
{
//	freopen("xx.in","r",stdin);
//	freopen("xx.out","w",stdout);
	scanf("%d\n",&T);
	for(;T--;)
	{
		Mod(mod*6ll+6);
		if(n<=2)
		{
			if(!n)printf("0\n");
			else printf("1\n");
			continue;
		}
		n-=1;
		a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;a[1][1]=0;
		f[0][0]=f[1][1]=1;f[1][0]=f[0][1]=0;
		while(n)
		{
			if(n&1)mul(f,a,mod*2ll+2);
			mul(a,a,mod*2ll+2);
			n>>=1;
		}
		n=f[0][0]-1;
		a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;a[1][1]=0;
		f[0][0]=f[1][1]=1;f[1][0]=f[0][1]=0;
		while(n)
		{
			if(n&1)mul(f,a,mod);
			mul(a,a,mod);
			n>>=1;
		}
		printf("%d\n",f[0][0]);
	}
}

　　

【

问题描述】

令??(??)为斐波那契数列第??项，其中??(0) = 0,??(1) = 1,??(??) = ??(??? 1) +??(?? ?2)。所以要干啥呢？求??(??(??))。【输入格式】第一行一个整数??代表数据组数。接下来??行每行一个整数??。【输出格式】??行每行一个整数代表答案对10 9 + 7取模的值。【样例输入】40126【样例输出】01121【样例解释】无。【数据规模与约定】215 490。70%的数据，1 ≤ ?? ≤ 10 5 。对于100%的数据，1 ≤ ?? ≤ 10 3 ,1 ≤ ?? ≤ 10 100 。