dp算法之方格取数

Posted 2020-10-09

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

现在我们用一道题来了解它。

dp经典之方格取数
【问题描述】

设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：)

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

【输入文件】

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

【输出文件】

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

【输入样例】

8

2 3 13

2 6 6

3 5 7

4 4 14

5 2 21

5 6 4

6 3 15

7 2 14

0 0 0

【输出样例】

67 

我们回到动态规划的本质来看代问题，我们在想想这个问题的状态，对于走一次，走到矩阵的任意一个位置就是一个状态，而要是走两次，显然走到矩阵的某个位置只是一个状态的一部分，不能完整的描述整个状态。那另一部分显然就是第二次走到的位置了。如果我们把这两部分合起来就是一个完整的状态了。

于是，设计一个状态opt[i1,j1,i2,j2]表示两条路分别走到（i1,j1）点和（i2,j2）点时取到的最大值。显然决策有4中（乘法原理一个点两种*另一个点的两中）

即（上，上）（上，左）（左，上）（左，左）上和左表示从哪个方向走到该点，当然要注意走到同行，同列，同点时的情况（因为要求路径不重复）。

 

【状态】f[i][j][k][l]表示两人分别到(i,j)、(k,l)所取过的数的和.G[i][j]表示方格里的数.

【方程】f[i][j][k][l] = max{f[i-1][j][k-1][l], f[i-1][j][k][l-1], f[i][j-1][k-1][l], f[i][j-1][k][l-1]}+G[i][j]+(i==k&&j==l ? 0 : G[k][l])

再来简洁的分析一下：
一个四重循环枚举两条路上分别走到的位置。因为每个点均从上或左继承而来，故内部有4个if，分别表示两个点从上上、上左，左上、左左继承来时，加上当前两个点所取得的最大值。a[i][j]表示（i，j）上的值，sum[i][j][h][k]表示第一条路走到（i，j），第二条路走到（h，k）时的最优解。
比如sum[i][j][h][k]=max(sum[i][j][h][k],sum[i-1][j][h-1][k]+ai][j]+a[h][k])表示两点均从上面走来。

 

好，想必已经迫不及待了，上代码！

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[51][51];
int sum[51][51][51][51];
int n,i,j,h,k,x,y,z;
int main()
{
　　scanf("%d%d%d%d",&n,&x,&y,&z);
　　while (x && y && z) //非0即真
　　{
　　a[x][y]=z;
　　scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
　　}
　　//开始dp
　　for (int i=1;i<=n;i++)
　　　　for (int j=1;j<=n;j++)
　　　　　　for (int h=1;h<=n;h++)
　　　　　　　　for (int k=1;k<=n;k++)
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　int tmp1=max(sum[i-1][j][h-1][k],sum[i][j-1][h][k-1]);
　　　　　　　　　　int tmp2=max(sum[i-1][j][h][k-1],sum[i][j-1][h-1][k]);
　　　　　　　　　　sum[i][j][h][k]=max(tmp1,tmp2)+a[i][j];
　　　　　　　　　　if (i!=h && j!=k) sum[i][j][h][k]+=a[h][k];
　　　　　　　　}
　　printf("%d\n",sum[n][n][n][n]);
　　return 0;
}