方格路线走法

Posted 2023-04-29

见图一 一只小蚂蚁从左下角的小方格出发去拿苹果，它每次只能走1格或2格．如果这只小蚂蚁沿最短路线走，那么走到苹果处共有______种不同的走法．（注意：走的路线相同但步骤不同是不同的走法．）

参考技术A

蚂蚁的最短标数路线如下：

一共有最短路线10种．
1+1=2，
1+2=3，
2+3=5，
3+5=8；
所以就是：1、2、3、5、8．所以到达第五个台阶（这里是格子）有方法8种．
 可见每种路线都有8种不同的走法；

8×10=80（种）
答：10条路线就一共有80种不同的走法．
故答案为：80．

给定一个M*N的格子或棋盘，从左下角走到右上角的走法总数（每次只能向右或向上移动一个方格边长的距离）

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解法1：我们可以把棋盘的左下角看做二维坐标的原点(0,0)，把棋盘的右上角看做二维坐标(m,n)(坐标系的单位长度为小方格的变长)   

用f(i, j)表示移动到坐标f(i, j)的走法总数，其中0=<i, j<=n，设f(m, n)代表从坐标（0,0）到坐标(m,n)的移动方法，

则f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1).

于是状态f(i, j)的状态转移方程为：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)    if i, j>0

f(i, j) = f(i, j-1)                  if i=0

f(i, j) = f(i-1, j)                  if j=0

优化的状态f(i, j)的状态转移方程为：

递归结束条件为：f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1。这个问题可以在时间O(n^2)，空间O(n^2)内求解。

递归解法

//递归解法
int process(int m, int n) {
    //永远不可能达到m & n同时为0的条件，除非输入m=n=0
    if (m == 0 && n == 0)
         return 0;
    if (m == 0 || n == 0)
         return 1;
    return process(m, n - 1) + process(m - 1, n);
}

非递归解法

int processNew(int m,int n){
      int **Q=new int*[m+1];
      for(int i=0; i<=m; ++i){
          Q[i]=new int[n+1]();
      }
      //初始化
      Q[0][0]=0;
      for(int j=1; j<=n; ++j)
          Q[0][j]=1;
     for(int i=1; i<=m; ++i)
         Q[i][0]=1;
     //迭代计算
     for(int i=1; i<=m; ++i){
         for(int j=1; j<=n; ++j){
             Q[i][j]=Q[i-1][j]+Q[i][j-1];
         }
     }
     int res=Q[m][n];
     delete [] Q;
     return res;
}

　　

解法2：这个题目其实是一个组合问题。对方向编号，向上是0，向右是1，那么从左下角走到右上角一定要经过M 个1和N个0。这个题目可以转化为从M+N个不同的盒子中挑出M个盒子有多少种方法。答案是C(M+N, M)，或者C(M+N, N)的组合数。