洛谷2822 组合数问题（递推）

Posted 2020-10-09 noble_

题目描述

组合数C?n?m??表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C?n?m??=?m!/(n−m)!??n!??

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足Cij??是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

 

输出格式：

 

t行，每行一个整数代表答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有C(2,1)是2的倍数。

【子任务】

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

分析：首先能确定的是暴算必定炸空间，所以得递推（dp）。（话说去年如果16年考场上不会递推的话也只能暴算了吧）。

　　递推式：C(i+1,j+1) = C(i,j)+c(i,j+1)

详见代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int c[2005][2005];
 5 long long s[2005][2005];
 6 int main()
 7 {
 8     int t,k,n,m;
 9     scanf("%d%d",&t,&k);
10     for(int i=0;i<2001;i++)//初始化
11     {
12         c[i][i]=1;
13         c[i][0]=1;
14     }
15     for(int i=0;i<2001;i++)
16     {
17         for(int j=0;j<=i;j++)
18         {
19             c[i+1][j+1]=(c[i][j]+c[i][j+1])%k;
20         }
21     }
22     for(int i=0;i<2001;i++)//前缀和 
23     {
24         for(int j=0;j<2001;j++)
25         {
26             s[i][j]=s[i-1][j]-s[i-1][j-1]+s[i][j-1];
27             if(!c[i][j]&&j<=i) s[i][j]++;
28             //由于之前%k，所以结果为0即整除 
29             //由于全局数组默认为0，为了不把没操作过的部分加入，这里一定要加j<=i 
30         }
31     }
32     for(int i=0;i<t;i++)
33     {
34         scanf("%d%d",&n,&m);
35         printf("%lld\n",s[n][m]);
36     }
37     return 0;
38 }