[NOIP2016提高组]组合数问题

Posted 2020-10-07 Mrsrz

题目：UOJ#263、洛谷P2822、Vijos P2006、codevs5947。

题目大意：t组数据，每次给你n和m$\leq 2000$，求对于所有的$(0\leq i\leq n)$,$(0\leq j\leq m)$的(i,j)，有多少对满足$C^j_i\equiv 0(mod\ k)$。

解题思路：此题是一道数论题。首先，组合数有一个递推公式：$C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_n$，这其实和杨辉三角的递推公式是一样的。那么我们可以预处理出所有的组合数，然后对于每一个问题，都从组合数里找满足条件的数。但由于$(t\leq 10^4)$，这样做会超时。

我们可以用二维前缀和的思路，求递推组合数的同时，把满足条件的数记录下来，然后每次询问的时间复杂度就是$O(1)$。具体见代码。

注意求组合数要边加边模k，否则可能会爆。

时间复杂度$O(\sum\limits_{i=1}^{2000}i)$。

C++ Code：

#include<cstdio>
using namespace std;
int ans[2002][2002],t,k,C[2002][2002];
int main(){
	scanf("%d%d",&t,&k);
	C[1][1]=C[2][1]=C[2][2]=1;
	ans[1][1]=ans[1][2]=ans[2][2]=0;
	for(int i=3;i<=2000;++i){
		C[i][1]=C[i][i]=1;
		ans[i][1]=0;
		for(int j=2;j<i;++j){
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%k;
			ans[i][j]=ans[i][j-1]+ans[i-1][j]-ans[i-1][j-1];
			if(C[i][j]==0)++ans[i][j];
		}
		ans[i][i]=ans[i][i-1];
	}
	while(t--){
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n<m)m=n;
		printf("%d\n",ans[n+1][m+1]);
	}
	return 0;
}