[JLOI 2013]卡牌游戏

Posted 2020-10-08 NaVi_Awson

Description

　　N个人坐成一圈玩游戏。一开始我们把所有玩家按顺时针从1到N编号。首先第一回合是玩家1作为庄家。每个回合庄家都会随机（即按相等的概率）从卡牌堆里选择一张卡片，假设卡片上的数字为X，则庄家首先把卡片上的数字向所有玩家展示，然后按顺时针从庄家位置数第X个人将被处决即退出游戏。然后卡片将会被放回卡牌堆里并重新洗牌。被处决的人按顺时针的下一个人将会作为下一轮的庄家。那么经过N-1轮后最后只会剩下一个人，即为本次游戏的胜者。现在你预先知道了总共有M张卡片，也知道每张卡片上的数字。现在你需要确定每个玩家胜出的概率。

这里有一个简单的例子：

　　例如一共有4个玩家，有四张卡片分别写着3,4,5,6.

　　第一回合，庄家是玩家1，假设他选择了一张写着数字5的卡片。那么按顺时针数1,2,3,4,1，最后玩家1被踢出游戏。

　　第二回合，庄家就是玩家1的下一个人，即玩家2.假设玩家2这次选择了一张数字6，那么2,3,4,2,3,4，玩家4被踢出游戏。

　　第三回合，玩家2再一次成为庄家。如果这一次玩家2再次选了6，则玩家3被踢出游戏，最后的胜者就是玩家2.

Input

　　第一行包括两个整数N,M分别表示玩家个数和卡牌总数。

　　接下来一行是包含M个整数，分别给出每张卡片上写的数字。

Output

　　输出一行包含N个百分比形式给出的实数，四舍五入到两位小数。分别给出从玩家1到玩家N的胜出概率，每个概率之间用空格隔开，最后不要有空格。

Sample Input

5 5

2 3 5 7 11

Sample Output

22.72% 17.12% 15.36% 25.44% 19.36%

HINT

　　对于100%的数据，有1<=N<=50 1<=M<=50 1<=每张卡片上的数字<=50

题解

建立$DP$模型：$f[i][j]$表示$i$个人坐成一圈玩游戏，第$1$个人为庄家，到最后第$j$个人胜出的概率。这样就可以实现$O(n^2)$的状态数，$O(n)$的转移。

怎样转移呢？

首先枚举庄家抽到的卡牌$k$，得到这一轮被淘汰的人的位置$d$。当然，如果$d==j$，就不要考虑这个$k$值了（因为这表示此轮第$j$个人被淘汰）。

而第$d$个人被淘汰之后，剩下的$i-1$个人要组成一个新的环，庄家为第$d$个人的下一个。容易算出，当$d>j$时，第$j$个人是新的环里从新庄家数起的第$i-d+j$个人，当$d<j$时，第$j$个人是新的环里从新庄家数起的第$j-d$个人。

容易推出状态转移方程为：

$f[i][j]+=$

　　　　$f[i-1][i-d+j]/m,d>j$

　　　　$f[i-1][j-d]/m,d<j$

　　　　$0,d==j$

 最后第$i$个人胜出的概率就是$f[n][i]$。

 

 1 //It is made by Awson on 2017.9.26
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <vector>
11 #include <cstring>
12 #include <cstdlib>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
17 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
18 using namespace std;
19 const int N = 50;
20 
21 int n, m;
22 int a[N+5];
23 double f[N+5][N+5];
24 
25 void work() {
26     scanf("%d%d", &n, &m);
27     for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
28     f[1][1] = 1;
29     for (int i = 2; i <= n; i++)
30     for (int j = 1; j <= i; j++)
31         for (int k = 1; k <= m; k++) {
32         int tmp = a[k]%i;
33         if (!tmp) tmp = i;
34         if (tmp == j) continue;
35         if (tmp > j) tmp = i+j-tmp;
36         else tmp = j-tmp;
37         f[i][j] += f[i-1][tmp]/(double)m;
38         }
39     for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf%% ", f[n][i]*100.);
40 }
41 int main() {
42     work();
43     return 0;
44 }