[NOI 2007]社交网络
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[NOI 2007]社交网络相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Description
在社交网络(socialnetwork)的研究中,我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。在一个社交圈子里有n个人,人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上,两个不同的人若互相认识,则在他们对应的结点之间连接一条无向边,并附上一个正数权值c,c越小,表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度,注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利,即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下:令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目,Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目;则定义为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义,我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图,即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图,请你求出每一个结点的重要程度。
Input
输入第一行有两个整数n和m,表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中,我们将所有结点从1到n进行编号。接下来m行,每行用三个整数a,b,c描述一条连接结点a和b,权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连,无向图中也不会出现自环(即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点)。n≤100;m≤4500 ,任意一条边的权值 c 是正整数,满足:1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通,且任意两个结点之间的最短路径数目不超过 10^10
Output
输出包括n行,每行一个实数,精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。
Sample Input
4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1
Sample Output
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
HINT
社交网络如下图所示。
对于 1 号结点而言,只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点,而 2 号结点和 4 号结点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义,1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性,其他三个结点的重要程度也都是 1 。
题解
从数据约定来看,$n<=100$,明显可以用$floyd$,而且题目要求算某个中间点的重要程度,也比较符合$floyd$以中间点划分阶段的思想。
这道题主要就是要推理出最短路的条数怎么算。
令$w[i,j]$为从点$i$到点$j$的最短路径条数,$f[i,j]$为最短路。则根据最短路径拥有最优子结构的性质和乘法原理,我们可以得出:
$$w[i,j]=w[i,j]+w[i,k]*w[k,j](f[i,j]=f[i,k]+f[k,j])$$
$$w[i,j]=w[i,k]*w[k,j](f[i,j]>f[i,k]+f[k,j])$$
再令$g[i,j,k]$为从点$i$到点$j$且经过点$k$的最短路径的条数。也正是根据这个最优子结构,我们又可以明白:
$$g[i,j,k]=w[i,k]*w[k,j](f[i,j]=f[i,k]=f[k,j])$$
然后根据题目所给的公式统计答案就行了。
1 //It is made by Awson on 2017.9.25 2 #include <set> 3 #include <map> 4 #include <cmath> 5 #include <ctime> 6 #include <queue> 7 #include <stack> 8 #include <vector> 9 #include <string> 10 #include <cstdio> 11 #include <cstdlib> 12 #include <cstring> 13 #include <iostream> 14 #include <algorithm> 15 #define LL long long 16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) 17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) 18 #define sqr(x) ((x)*(x)) 19 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) ? (x)) 20 #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) 21 using namespace std; 22 const int N = 100; 23 LL Read() { 24 LL sum = 0; 25 char ch = getchar(); 26 while (ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) ch = getchar(); 27 while (ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘) sum = (sum<<3)+(sum<<1)+ch-48, ch = getchar(); 28 return sum; 29 } 30 31 LL n, m, u, v, c; 32 LL f[N+5][N+5]; 33 LL cnt[N+5][N+5]; 34 double ans[N+5]; 35 36 void work() { 37 n = Read(), m = Read(); 38 memset(f, 127/3, sizeof(f)); 39 while (m--) { 40 u = Read(), v = Read(), c = Read(); 41 if (f[u][v] > c) { 42 f[u][v] = f[v][u] = c; 43 cnt[u][v] = cnt[v][u] = 1; 44 } 45 else if (f[u][v] == c) 46 cnt[u][v] = ++cnt[v][u]; 47 } 48 for (LL k = 1; k <= n; k++) 49 for (LL i = 1; i <= n; i++) 50 for (LL j = 1; j <= n; j++) 51 if (k != j && k != i && i != j) { 52 if (f[i][k]+f[k][j] < f[i][j]) { 53 f[i][j] = f[i][k]+f[k][j]; 54 cnt[i][j] = cnt[i][k]*cnt[k][j]; 55 } 56 else if (f[i][k]+f[k][j] == f[i][j]) 57 cnt[i][j] += cnt[i][k]*cnt[k][j]; 58 } 59 for (LL k = 1; k <= n; k++) 60 for (LL i = 1; i <= n; i++) 61 for (LL j = 1; j <= n; j++) 62 if (k != j && k != i && i != j) 63 if (f[i][k]+f[k][j] == f[i][j]) 64 ans[k] += (double)(cnt[i][k]*cnt[k][j])/(double)(cnt[i][j]); 65 for (LL i = 1; i <= n; i++) 66 printf("%.3lf\n", ans[i]); 67 } 68 int main() { 69 freopen("bestlink.in", "r", stdin); 70 freopen("bestlink.out", "w", stdout); 71 work(); 72 return 0; 73 }
以上是关于[NOI 2007]社交网络的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章