算法之动态规划（递推求解一）

Posted 2020-10-08 那年盛夏

这篇博客主要讲的是动态规划入门，即动态规划的思想，并且再讲解动态规划的最简单的一个方法。

首先，什么是动态规划？

　　动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。其实就是分解问题，分而治之。可能这样说大家都不太理解，其实这个有点类似于数学中的递推公式。来举一个简单的例子，看下边这个题：

　　N阶楼梯上楼问题：一次可以走两阶或一阶，问有多少种上楼方式。

　　这就是动态规划就简单的一个列子。拿到这个题，大家是不是都有点迷，这个到底怎么做？是不是没有思路，那么按照动态规划思想，我们可以先分析下问题，每次都有两种跳法，分别是一阶或者两阶，那么如果当前是第n个台阶，那么跳法是不是是(n-1)台阶的跳法数加上(n-2)台阶的跳法数？如果划算成公式是F（n） =  F（n-1）+F（n-2）。F（n）代表第n阶台阶的跳法的数量。

　　这不就相当于找到了一个递推公式，然后来进行计算。具体的代码实现如下（采用的是非递归）：

#include <stdio.h>    
     
int main()    
{    
        int i,N;    
        long long a[90];    
        while(~scanf("%d",&N))    
        {                 
                a[1]=1;    
                a[2]=2;    
                for(i=3;i<=N;i++)    
                        a[i]=a[i-1]+a[i-2];    
                printf("%lld\n",a[N]);    
        }    
             
        return 0;    
             
}   

 

下边再举一个列子来辅助理解：

　　n封信放入n个信封，要求全部放错，共有多少种放法，记n个元素的错排总数为f(n)

　　对于这个题，我们可以采用和上述一样的思路，我们是否要考虑下找一个类似的递推公式等来解决。思路如下：

　　在任意一种错装方案中，假设n号信封里装的是k号信封的信，而n号信封里的信则装在m号信封里。我们按照k和m的等值与否将总的错装方式分为两类。  若k不等于m，交换n号信封和m号信封的信后，n号信封里装的恰好是对应的信，而m号信封中错装k号信封里的信，即除n号信封外其余n-1个信封 全部错装，其错装方式等于 F[n - 1]，又由于m的n-1个可能取值，这类错装方式总数为（n - 1）* F[n - 1]。也可以理解为，在 n-1个信封错装的 F[n - 1]种方式的基础上，将n号信封所装的信与n - 1个信封中任意一个信封（共有 n-1 中选 择）所装的信做交换后，得到所有信封全部错装的方式数。另一种情况，若 k 等于 m，交换 n 号信封和 m 号信封的信后，n 号信封和 m 号信封里装的恰好是对应的信，这样除它们之外剩余的 n-2 个信封全部错装，其 错装方式为 F[n - 2]，又由于 m 的 n-1 个取值，这类错装方式总数为（n - 1）* F[n - 2]。也可以理解为，在 n - 2 个信封全部错装的基础上，交换最后两个信封中的 信(n 号信封和 1 到 n-1 号信封中任意一个，共有 n-1 种选择)，使所有的信封全部 错装的方式数。  综上所述，F[n] = (n - 1) * F[n - 1] + (n - 1) * F[n - 2]。这就是错排公式。

　　具体代码如下：

#include <stdio.h>
Long long F[21]; //数值较大选用long long
int main () {
　　F[1] = 0;
　　F[2] = 1; //初始值
　　for (int i = 3;i <= 20;i ++)
　　　　F[i] = (i - 1) * F[i - 1] + (i - 1) * F[i - 2]; //递推求得数列每一个数字
　　int n;
　　while (scanf ("%d",&n) != EOF) {
　　　　printf("%lld\n",F[n]); //输出
　　}
　　return 0;
}