组合数学/Prufer编码/Cayley公式

Posted 2020-10-08

https://zhidao.baidu.com/question/625884864813348564.html

排列公式是建立一个模型,从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序）,第一个位置可以有n个选择,第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置）,则同理可知第三个位置可以有n-2个选择,以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择,则排列数A(n m)=n*(n-1)*(n-2)...*(n-m+1)
由阶乘的定义可知A(n m)=[n*(n-1)*(n-2)...*(n-m+1)]*[(n-m)*(n-m-1)...*1]/[(n-m)*(n-m-1)...*1]
上下合并可得A(n m)=n!/(n-m)!
组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,可以先考虑排列A(n m),由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列A(m m)=m!）,所以组合的总数就是A(n m)/m!
即为C(n m)=A(n m)/m!=n!/[m!*(n-m)!]
http://www.matrix67.com/blog/archives/682

Cayley公式：一个完全图K_n有n^(n-2)棵生成树，换句话说n个节点的带标号的无根树有n^(n-2)个。

Prufer编码：给定一棵带标号的无根树，找出编号最小的叶子节点，写下与它相邻的节点的编号，然后删掉这个叶子节点。反复执行这个操作直到只剩两个节点为止。

任何一个Prüfer编码都唯一地对应了一棵无根树，有多少个n-2位的Prüfer编码就有多少个带标号的无根树。
一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个，因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。