bzoj1592 [Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

Posted 2020-10-07 zbtrs

1592: [Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

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Description

FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。 整条路被分成了N段，N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为： |A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N| 请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。

Input

* 第1行: 输入1个整数：N * 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数：A_i

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

Sample Input

7
1
3
2
4
5
3
9

Sample Output

3

HINT

 

FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列 1,2,2,4,5,5,9。

 

Source

Gold

分析：比较难想的一道dp题，有一个结论：最后的序列中的数一定都是原序列中的数，因为这道题是不严格单调序列，可以证明，每次变成原序列中的数的花费是最少的.

      考虑dp要怎么设计状态，首先可以肯定的是有一维状态表示的是"前i个"，同时对答案有影响的是第i个的高度，但是第二维状态不能记录为第i个的高度，而要记录为高度≤j,那么f[i][j]表示前i个数高度≤第j小高度的最小花费，可以写出方程f[i][j] = min(f[i][j-1],f[i-1][j] + abs(a[i] - b[j])),其中b是排序后的a数组.如果模拟一下这个递推过程，就会发现这其实就是把第i个的高度不断提高.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn = 2010, inf = 0x7fffffff;
int a[maxn], n, f[maxn][maxn], b[maxn], ans;

bool cmp(int a, int b)
{
    return a > b;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i]; 
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
            f[i][0] = inf;
    sort(b + 1, b + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i - 1][j] + abs(a[i] - b[j]));
    ans = f[n][n];
    sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i][0] = inf;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i - 1][j] + abs(a[i] - b[j]));
    printf("%d\n", min(ans, f[n][n]));

    return 0;
}