BZOJ 1592. Making the Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008 Feb]BZOJ计划

Posted 2021-12-03 繁凡さん

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BZOJ简单题合集x

目录

• • BZOJ 1592. Making the Grade
  • 拓展问题一
  • 拓展问题二
  • 拓展问题三

BZOJ 1592. Making the Grade

Weblink

https://hydro.ac/d/bzoj/p/1592

Problem

Solution

题目要求通过修改得到非严格单调递增或递减的序列，也就是说可以相等。所以这里有一个非常显然的结论：最少的修改次数得到非严格单调的序列，修改后的得到的数一定是原序列里的数。（因为可以相等，贪心的想一想，为什么）

那么显然我们可以设 $f[i,j]$ 表示序列中第 $i$ 个数修改为原序列里第 $j$ 个数的最少修改次数。

题目中序列可以为非严格单调递增或者非严格单调递减，所以我们将原序列复制为 $b$ 数组，将 $b$ 递增排序进行DP，然后递减排序进行DP取二者最小值即可。

显然有转移方程：

f [ i , j ] = min ⁡ { f [ i − 1 , k ] + abs ( a [ i ] − b [ j ] ) , 1 ≤ k ≤ j } f[i,j]=\\min\\{f[i-1,k]+\\text{abs}(a[i]-b[j]),1\\le k\\le j\\} f[i,j]=min{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}

直接转移时间复杂度为 $O(n^3)$，$n\le 2000$，考虑优化。

考虑经典优化：数据结构优化。

显然有：

f [ i , j ] = min ⁡ { f [ i − 1 , k ] + abs ( a [ i ] − b [ j ] ) , 1 ≤ k ≤ j } f [ i , j ] = min ⁡ { min ⁡ { f [ i − 1 , k ] , 1 ≤ k ≤ j } + abs ( a [ i ] − b [ j ] ) } f[i,j]=\\min\\{f[i-1,k]+\\text{abs}(a[i]-b[j]),1\\le k\\le j\\}\\\\ f[i,j]=\\min\\{\\min\\{f[i-1,k],1\\le k\\le j\\}+\\text{abs}(a[i]-b[j])\\} f[i,j]=min{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}f[i,j]=min{min{f[i−1,k],1≤k≤j}+abs(a[i]−b[j])}

即决策集合中的元素只增不减，我们就可以用一个数据结构来维护这个决策集合，也即维护 min ⁡ { f [ i − 1 , k ] , 1 ≤ k ≤ j } \\min\\{f[i-1,k],1\\le k\\le j\\} min{f[i−1,k],1≤k≤j} 即可。

这里显然使用一个变量维护即可。

我们维护 num = min ⁡ { f [ i − 1 , k ] , 1 ≤ k ≤ j } \\text{num}=\\min\\{f[i-1,k],1\\le k\\le j\\} num=min{f[i−1,k],1≤k≤j}，每次转移的时候直接取 num = min ⁡ { f [ i , j ] , f [ i − 1 , j ] } \\text{num}=\\min\\{f[i,j],f[i-1,j]\\} num=min{f[i,j],f[i−1,j]}，在DP转移的时候 $f[i,j]$ 直接用 $\text{num}$ 进行更新即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
const int maxn = 2e3 + 6, maxm = 1e6 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, s, t;
int a[maxn], b[maxn];
ll f[maxn][maxn];
ll ans;

int main()
{
	ans = INF;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		scanf("%d", &a[i]);
		b[i] = a[i];
	}

	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	sort(b + 1, b + 1 + n);
	for (int j = 1; j <= n; ++ j)
		f[0][j] = 0;

	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		ll num = INF;
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) { 
			num = min(num, f[i - 1][j]);
			f[i][j] = min(f[i][j], num + abs(a[i] - b[j]));
		}
	}

	for (int j = 1; j <= n; ++ j)
		ans = min(ans, f[n][j]);

	memset(f, 0x3f, sizeof f); 
	reverse(b + 1, b + 1 + n);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		ll num = INF;
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			num = min(num, f[i - 1][j]);
			f[i][j] = min(f[i][j], num + abs(a[i] - b[j]));
		}
	}

	for (int j = 1; j <= n; ++ j)
		ans = min(ans, f[n][j]);

	cout << ans << endl;
	return 0;
}

拓展问题一

拓展问题一：给定长度为 $n$ 的整数序列 $a$ ，求最少修改次数（修改操作可以任意修改数值），使得 $a$ 非严格单调递增。（保证序列任意时刻均为整数）

Solution

显然问题的答案为 $n-LIS$，即贪心地使得不需要修改的数尽可能的多。

拓展问题二

拓展问题二：给定长度为 $n$ 的整数序列 $a$ ，求最少修改次数（修改操作可以任意修改数值），使得 $a$ 严格单调递增。（保证序列任意时刻均为整数）

Solution

同样考虑贪心策略，使得不需要修改的数尽可能的多。

显然对于任意的 $j>i$​​​ ，$i$​​​ 和 $j$​​ 可以保留当且仅当
$$a[j]>a[i]\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}a[j]-a[i]\ge j-i$$

也即

$$a[j]-j\ge a[i]-i$$

因此我们让 a[i] = a[i] - i，问题就转化为了问题一，答案为 $n-LIS$​。

$O(n\log n)$ 求解新序列的 $LIS$ 即可。

拓展问题三

Weblink

CF1437E Make It Increasing

Problem

给你一个数列 $a$，一个 $k$ 个元素的集合 $b$ ，对于每个 $b$ 中的元素 $x$， $a_x$ 不能修改，其他都可以修改，问最少多少次可以将 $a$ 修改为严格单调递增的。如果不存在，输出 $-1$。

$a$ 中的所有元素在任意时刻必须都是整数

$1\le n\le 5\times 10^5,1\le a_i\le 10^9$。

Solution

本题增加了一个新限制条件，即有 $k$ 个点不能修改。

显然是没有什么用的，我们将序列分为 $k+1$ 段，分别对每段计算答案即可（段内有序，段间有序）。

二分 $O(n\log n)$ 计算 $以上是关于BZOJ\; 1592.\; Making\; the\; Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008\; Feb]BZOJ计划的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

[BZOJ1592][Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

Making the Grade (bzoj1592)

bzoj1592 Making the Grade

BZOJ 1592. Making the Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008 Feb]BZOJ计划

BZOJ 1592. Making the Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008 Feb]BZOJ计划

BZOJ 1592. Making the Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008 Feb]BZOJ计划