浅析树状数组（二叉索引树）及一些模板

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅析树状数组（二叉索引树）及一些模板相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

树状数组

　　动态连续和查询问题。给定一个n个元素的数组a1、a2、……，an，设计一个数据结构，支持以下两种操作：1、add(x,d):让ax增加d;2、query(l,r)：计算al+al+1+…+ar

如何让query和add都能快速完成呢？方法有很多，这里介绍的便是树状数组。为此我们先介绍lowbit。

　　对于正整数x，我们定义lowbit(x)为x的二进制表达式中最右边的1所对应的值(而不是这个比特的序号)。比如，38288的二进制1001010110010000，所以lowbit(38288)=16(二进制是10000)。在程序中，lowbit(x)=x&-x，计算机里的整数采用补码表示，因此-x实际上是x按位取反后末尾加1的结果如下：

                                                                                              38288=1001010110010000

                                                                                             -38288=0110101001110000

二者按位取与后，前面的部分全部变为0，之后lowbit保持不变。接下来看一张图

　　对于节点i，如果它是左子节点，那么他的父节点编号为i+lowbit(i);如果它是右子节点，那么父节点的编号为i-lowbit(i)。我们设辅助数组C[k]存储的是从k开始lowbit(k)个元素的和，即C[i]=A[i]+A[i-1]+…+A[i-2^k+1]。

　　有了以上预备知识做铺垫我们就能进行一下操作了！！

一、单点修改+区间查询

思路：假设修改第i个数即A[i],增量为num，则只需从C[i]开始往右走，沿途修改所有节点对应的C[i]（即包含A[i]的区间）;而求和sum(i)=A[1]+A[2]+…+A[i],则i到j的和为sum(j)-sum(i-1);

模板题：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3374

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define maxn 500005
 4 using namespace std;
 5 int a[maxn],b[maxn],n,m;              //a为原数组，b为辅助数组
 6 inline int getint()                     //读入优化
 7 {
 8     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<\'0\'||x>\'9\')&&x!=\'-\')x=getchar();
10     if(x==\'-\')f=1,x=getchar();
11     while(x>=\'0\'&&x<=\'9\'){a=a*10+x-\'0\';x=getchar();}
12     return f?-a:a;
13 }
14 void update1(int k,int num)     //k为需要修改第几个数，num为增量
15 {
16     while(k<=n)
17     {
18         b[k]+=num;
19         k+=k&-k;
20     }
21 }
22 int read(int k)             //求和
23 {
24     int sum=0;
25     while(k){sum+=b[k];k-=k&-k;}
26     return sum;
27 };
28 int main()
29 {
30     n=getint(),m=getint();
31     for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update1(i,a[i]);}   //初始化b数组
32     while(m--)
33     {
34         int x,y,z=getint();
35         if(z==2){x=getint();y=getint();printf("%d\\n",read(y)-read(x-1));}  //区间求和
36         else {x=getint();y=getint();update1(x,y);}  //单点修改
37     }
38     return 0;
39 }

二、区间修改+单点查询

思路：我们设置辅助数组C[i]=A[i]-A[i-1],容易得出第i个数为sum(i)=C[1]+C[2]+…C[i];至于区间修改，假设修改区间为[i，j]、增量k，我们只需将C[i]+k的同时C[j+1]-k即可

模板题：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define maxn 500005
 4 using namespace std;
 5 int a[maxn],b[maxn],n,m;
 6 inline int getint()                   //读入优化
 7 {
 8     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<\'0\'||x>\'9\')&&x!=\'-\')x=getchar();
10     if(x==\'-\')f=1,x=getchar();
11     while(x>=\'0\'&&x<=\'9\'){a=a*10+x-\'0\';x=getchar();}
12     return f?-a:a;
13 }
14 void update1(int k,int num)   //不想多说了下面都同上一个代码的注释，主要是思路不同
15 {
16     while(k<=n)
17     {
18         b[k]+=num;
19         k+=k&-k;
20     }
21 }
22 int read(int k)
23 {
24     int sum=0;
25     while(k){sum+=b[k];k-=k&-k;}
26     return sum;
27 };
28 int main()
29 {
30     n=getint(),m=getint();
31     for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update1(i,a[i]-a[i-1]);}
32     while(m--)
33     {
34         int x,y,z=getint(),q;
35         if(z==2){x=getint();printf("%d\\n",read(x));}
36         else {x=getint();y=getint();q=getint();update1(x,q);update1(y+1,-q);}
37     }
38     return 0;
39 }

三、区间修改+区间查询

思路：（很有趣的数学呵呵～）设置b[i]=a[i]-a[i-1]，则有等式：

a[1]+a[2]+...+a[n]

= (b[1]) + (b[1]+b[2]) + ... + (b[1]+b[2]+...+b[n]) 

= n*b[1] + (n-1)*b[2] +... +b[n]

= n * (b[1]+b[2]+...+b[n]) - (0*b[1]+1*b[2]+...+(n-1)*b[n])  

所以我们就维护一个数组c[n]，其中c[i] = (i-1)*b[i],每当修改b的时候，就同步修改一下c，这样复杂度就不会改变那么原式=n*sigma(b,n) - sigma(c,n)//sigma(b,n)表示b数组前n个数的和（时间复杂度为log2n）

模板：自己找一个（区间修改+区间查询）线段树的模板题吧！～～

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define maxn 100005
 4 using namespace std;
 5 int a[maxn],b[maxn],c[maxn],n,m;
 6 inline int getint()
 7 {
 8     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<\'0\'||x>\'9\')&&x!=\'-\')x=getchar();
10     if(x==\'-\')f=1,x=getchar();
11     while(x>=\'0\'&&x<=\'9\'){a=a*10+x-\'0\';x=getchar();}
12     return f?-a:a;
13 }
14 void update(int *x,int k,int num)
15 {
16     while(k<=n)
17     {
18         x[k]+=num;
19         k+=k&-k;
20     }
21 }
22 int read(int *x,int k)
23 {
24     int sum=0;
25     while(k){sum+=x[k];k-=k&-k;}
26     return sum;
27 }
28 int main()
29 {
30     n=getint(),m=getint();
31     for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=getint();update(b,i,a[i]-a[i-1]);update(c,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));}
32     while(m--)
33     {
34         int x,y,z=getint(),q;
35         if(z==2){x=getint();y=getint();printf("%d\\n",y*read(b,y)-read(c,y)-(x-1)*read(b,x-1)+read(c,x-1));}
36         else {x=getint();y=getint();q=getint();update(b,x,q);update(b,y+1,-q);update(c,x,q*(x-1));update(c,y+1,-q*y);}
37     }
38     return 0;
39 }

 

四、求逆序数对

思路：了解离散化，它是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围，必要的是建立一个结构体a[n]，v表示输入的值，order表示原i值，再用一个数组aa[n]存储离散化后的值
例如：
i：1 2 3 4 5
v: 9 0 1 5 4
排序后:0 1 4 5 9
order:2 3 5 4 1 如果建立映射：aa[a[i].order]=i;
aa:5 1 2 4 3
即原本的9经过排序应该在第5位，现在aa[1]=5，对应原来的9，大小次序不变，只是将9缩小到了5 那么离散化之后怎么求逆序对呢？说实在的我这里想了很久，首先是通过update函数插入一个数，比如update(2,1),一开始都c[n]为0,插入后+1
，现在其余的为0，c[2],c[4]=1,这就说明前面下标为2出有一个数2，这里是关键，c[4]=1不代表下标为4时有一个数4，它的意思是在4之前的区间内所有元素之和是1，即有一个数2，具体的可以看看树状图
然后只有用getsum实时求出插入一个数的前面有几个数，就可以算出当前小于这个数的数的个数，再通过下标i-getsum(aa[i]),得到大于它的数目，即为逆序数。

模板：POJ2299

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int maxn= 500005;
 8 int aa[maxn];//离散化后的数组
 9 int c[maxn]; //树状数组
10 int n;
11 struct Node
12 {
13     int v;
14     int order;
15 }a[maxn];
16 bool cmp(Node a, Node b)
17 {
18     return a.v < b.v;
19 }
20 int lowbit(int k)
21 {
22     return k&(-k); //基本的lowbit函数 
23 }
24 void update(int t, int value)
25 {     //即一开始都为0，一个个往上加（+1），
26     int i;
27     for (i = t; i <= n; i += lowbit(i))
28         c[i] += value;  
29 }
30 int getsum(int t)
31 {  //即就是求和函数，求前面和多少就是小于它的个数
32     int i, sum = 0;
33     for (i = t; i >= 1; i -= lowbit(i))
34         sum += c[i];
35     return sum;
36 }
37 int main()
38 {
39     int i;
40     while (scanf("%d", &n), n)
41     {
42         for (i = 1; i <= n; i++) //离散化
43         {
44             scanf("%d", &a[i].v);
45             a[i].order = i;
46         }
47         stable_sort(a + 1, a + n + 1,cmp);//从1到n排序,cmp容易忘
48         memset(c, 0, sizeof(c));
49         for (i = 1; i <= n; i++)
50             aa[a[i].order] = i;
51         long long ans = 0;
52         for (i = 1; i <= n; i++)
53         {
54             update(aa[i], 1);
55             ans += i - getsum(aa[i]); //减去小于的数即为大于的数即为逆序数
56         }
57         printf("%lld\\n", ans);
58     }
59     return 0;
60 }

 

五、区间最大值

思路：自己yy吧，有点像倍增～～

 1 inline void init()  
 2 {  
 3     CLR(arr,0);  
 4     for(int i=1;i<=N;++i)  
 5         for(int j=i;j<=N&&arr[j]<num[i];j+=lowbit(j))  
 6             arr[j]=num[i];  
 7 }  
 8 inline int query(int L,int R)  
 9 {  
10     int res=0;  
11     for(--L;L<R;){  
12         if(R-lowbit(R)>=L){res=max(res,arr[R]);R-=lowbit(R);}  
13         else{res=max(res,num[R]);--R;}  
14     }  
15     return res;  
16 }  
17 inline void update(int x,int val)  
18 {  
19     int ori=num[x];  
20     num[x]=val;  
21     if(val>=ori)  
22         for(int i=x;i<=N&&arr[i]<val;i+=lowbit(i))  
23             arr[i]=val;  
24     else{  
25         for(int i=x;i<=N&&arr[i]==ori;i+=lowbit(i))  
26         {  
27             arr[i]=val;  
28             for(int j=lowbit(i)>>1;j;j>>=1)  
29                 arr[i]=max(arr[i],arr[i-j]);  
30         }  
31     }  
32 }

 

 

 

 

 

 

以上是关于浅析树状数组（二叉索引树）及一些模板的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

二叉索引树

二叉索引树（树状数组）入门

二叉索引树 树状数组

C++ 树进阶系列之树状数组的树形之路

树状数组的基操

树状数组