二叉索引树（树状数组）入门

Posted 2020-10-27 beilili

二叉索引树，即树状数组，被某神犇称之为是最漂亮的数据结构，所以蒟蒻北篱也去学习了一下传说中的树状数组。

限于蒟蒻北篱的语言表达能力太差（其实是懒），于是引用了度娘的一段对树状数组的解释

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

树状数组可以O(logn)的完成单点修改，单点查询和区间查询等操作，其实就是动态维护前缀和的过程，其中的所有操作都是以lowbit(x)操作为核心的。

lowbit

先来说一下lowbit(x)操作，lowbit(x)操作其实就是求x的二进制最低位（最低位代表的数字而不是位数），求x的lowbit也很简单，代码如下：

1 inline int lowbit(int x) {
2     return x&(-x);
3 }

其实就是利用了补码，证明很简单，这里略过。如果你不想写函数也可以宏定义：

1 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

加多层括号是为了防止优先级错误，不必要时完全可以不加。

存储结构

树状数组看名字就知道只是一个数组，没什么好说的，但是，每个数组元素存储的不是原数组中的内容（这不是废话吗），而是原数组中(x-lowbit(x),x]内所有元素的和，而这就是我们查询时间为O(logn)的原因。

单点修改

如果要把数组中下标为x的元素加上t，那么学过数组的人肯定都会写：

1 inline void change(int x,int t) {
2     c[x]+=t;
3 }

这样就行了吗？不行。

我们在说存储结构的时候就说过了，树状数组中下标为元素的值等于原数组中(x-lowbit(x),x]内所有元素的和，所以我们修改树状数组的其他元素，我们假设树状数组有n个元素，于是代码如下：

1 inline void change(int x,int t) {
2     for(;x<=n;x+=lowbit(x)) {
3         c[x]+=t;
4     }
5 }

这样才是没有问题的修改操作。如果看懂了上面的存储原理想要理解的话也不难，理解不了就多看几遍图就懂了。

有没有发现我们并没有说建树的代码？那是因为直接把每一个点调用一次change操作就好了。

前缀和查询

我们利用树状数组可以做到O(logn)的前缀和查询，和单点修改类似的原理，这里不再多说，看代码就能懂的（笑

1 inline int sum(int x) {
2     int s=0;
3     for(;x;x-=lowbit(x)) {
4         s+=c[x];
5     }
6     return s;
7 }

区间查询

我们可以利用树状数组求[s,t]内所有元素的和，做法很简单，既然我们已经写出前缀和查询的代码，我们现在就要好好利用它，求出sum(t)和sum(s)，然后两者相减就能得出答案，所以区间求和的时间也是O(logn)。

1 inline int query(int s,int t) {
2     return sum(t)-sum(s-1);
3 }

树状数组模板

最后丢一个模板好了（溜

 1 struct BIT{
 2     private:
 3         static const int maxn=5e5+10;
 4         int c[maxn],n;
 5     public:
 6         void init(int n) {
 7             memset(c,0,sizeof(c));
 8             this->n=n;
 9         }
10         inline void change(int x,int t) {
11             for(;x<=n;x+=lowbit(x)) {
12                 c[x]+=t;
13             }
14         }
15         inline int sum(int x) {
16             int s=0;
17             for(;x;x-=lowbit(x)) {
18                 s+=c[x];
19             }
20             return s;
21         }
22         inline int query(int s,int t) {
23             return sum(t)-sum(s-1);
24         }
25 };