树状数组

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了树状数组相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

附上学习PPT:传送门

概念

树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree,又叫做Fenwick树;它的查询和修改的时间复杂度都是log(n),空间复杂度则为O(n),这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构,从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和,区间和。

其中a数组就是原数组,c数组则是树状数组,可以发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

原理

lowbit

它通过公式来得出k,其中k就是该值从末尾开始0的个数。然后将其得出的结果加上x自身就可以得出当前节点的父亲节点的位置或者是x减去其结果就可以得出上一个父亲节点的位置。比如当前是6,二进制就是0110,k为2,那么6+2=8,而C(8)则是C(6)的父亲节点的位置;相反,6-2=4,则是C(6)的上一个父亲节点的位置。

int lowbit(int x)
{

    return (x & (-x));
}

 

注意:lowbit无法处理0的情况,因为它的结果也是0,那么最终就是一个死循环,所以,树状数组全部设置成以1开始的下标

单点修改

当我们要对最底层的值进行更新时,那么它相应的父亲节点存储的和也需要进行更新,所以修改的代码如下:

//向后修改某一点的值
void add(int x, int d)
{
    while(x <= n)
    {
        a[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}

 

查询

而查询的时候,则需要向前进行统计

//向前统计[1, x]的区间和
int sum(int x)
{
    int ret = 0;
    while(x > 0)
    {
        ret += a[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

 

注意:

更新某点a[i] += p;调用add(i, p);

 

求区间[x, y]的和调用sum(y) – sum(x - 1);

 

 

例如

15=(1111)2,通过lowbit分解,它可以变成4个数的和:(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2,然后我们分析这个倒着跳的过程。减去15的最小的2的幂次2^0得到14。减去14的最小的2的幂次2^1得到12。减去12的最小的2的幂次2^2得到8。减去8的最小的2的幂次2^3得到0。

所以C(15) = C(14) + C(12) + C(8) + C(0),由图也可以得知,其结果是正确的。

除此之外,树状数组能够快速的求任意区间的和,设sum(k) = A[1] + A[2] + ... + A[k],则A[i] + A[i+1] + ... + A[j] = sum(j) - sum(i-1)。

 

树状数组还有区间修改单点求和的作用

 

 1 int sum(int x)
 2 {
 3     int ret = 0;
 4     while(x <= n)
 5     {
 6         ret += a[x];
 7         x += lowbit(x);
 8     }
 9     return ret;
10 }
11 //向前修改[0, x]整个区间加上d
12 void add(int x, int d)
13 {
14     while(x > 0)
15     {
16         a[x] += d;
17         x -= lowbit(x);
18     }
19 }
20 更新某区间,使区间[x, y]加上d调用add(y, d);add(x-1, -d);
21 求a[x],调用sum(x);

 

 

 

 

以上是关于树状数组的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数据结构之树状数组从零认识树状数组

树状数组和线段树有啥区别?

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如何利用树状数组修改一个区间?