树状数组
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了树状数组相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
附上学习PPT:传送门
概念
树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree,又叫做Fenwick树;它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)
,空间复杂度则为O(n)
,这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构,从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和,区间和。
C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
原理
lowbit
它通过公式来得出k,其中k就是该值从末尾开始0的个数。然后将其得出的结果加上x自身就可以得出当前节点的父亲节点的位置或者是x减去其结果就可以得出上一个父亲节点的位置。比如当前是6,二进制就是0110,k为2,那么6+2=8,而C(8)则是C(6)的父亲节点的位置;相反,6-2=4,则是C(6)的上一个父亲节点的位置。
int lowbit(int x) { return (x & (-x)); }
注意:lowbit无法处理0的情况,因为它的结果也是0,那么最终就是一个死循环,所以,树状数组全部设置成以1开始的下标
单点修改
当我们要对最底层的值进行更新时,那么它相应的父亲节点存储的和也需要进行更新,所以修改的代码如下:
//向后修改某一点的值 void add(int x, int d) { while(x <= n) { a[x] += d; x += lowbit(x); } }
查询
//向前统计[1, x]的区间和 int sum(int x) { int ret = 0; while(x > 0) { ret += a[x]; x -= lowbit(x); } return ret; }
注意:
更新某点a[i] += p;调用add(i, p);
求区间[x, y]的和调用sum(y) – sum(x - 1);
15=(1111)2,通过lowbit分解,它可以变成4个数的和:(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2,然后我们分析这个倒着跳的过程。减去15的最小的2的幂次2^0得到14。减去14的最小的2的幂次2^1得到12。减去12的最小的2的幂次2^2得到8。减去8的最小的2的幂次2^3得到0。
所以C(15) = C(14) + C(12) + C(8) + C(0),由图也可以得知,其结果是正确的。
除此之外,树状数组能够快速的求任意区间的和,设sum(k) = A[1] + A[2] + ... + A[k],则A[i] + A[i+1] + ... + A[j] = sum(j) - sum(i-1)。
树状数组还有区间修改单点求和的作用
1 int sum(int x) 2 { 3 int ret = 0; 4 while(x <= n) 5 { 6 ret += a[x]; 7 x += lowbit(x); 8 } 9 return ret; 10 } 11 //向前修改[0, x]整个区间加上d 12 void add(int x, int d) 13 { 14 while(x > 0) 15 { 16 a[x] += d; 17 x -= lowbit(x); 18 } 19 } 20 更新某区间,使区间[x, y]加上d调用add(y, d);add(x-1, -d); 21 求a[x],调用sum(x);
以上是关于树状数组的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章