中国剩余定理

Posted 2020-06-09

中国剩余定理可以用来解线性同余方程组。

对于一个合数n，设n=a*b（a，b互素），那么x mod n=x mod a=x mod b。

所以对于一个n模合数的情况，我们只需要考虑模p^k（p为素数）的情况就可以了，即

f（x)≡0(mod n) ↔f(x)≡0(mod p^k)(p^k|n)

如果n不能被以上任何一个数整除，那么我们就可以考虑模素数的情况了。

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中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数

  

方程组

  

的通解形式为

在模的意义下，方程组

只有一个解：（这才是重点）。