中国剩余定理

Posted 2022-06-22 ACdreamers

中国剩余定理（CRT）的表述如下

 

设正整数两两互素，则同余方程组

 

                            

 

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

 

                              

 

其中，而为模的逆元。

 

代码：

int CRT(int a[],int m[],int n)

    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;

 

题目：http://poj.org/problem?id=1006

 

题意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一

     天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

     期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少

     再过多少天后三个峰值同时出现。

 

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int a[4], m[4];

void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)

    if(b == 0)
    
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;


int CRT(int a[],int m[],int n)

    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;


int main()

    int p, e, i, d, t = 1;
    while(cin>>p>>e>>i>>d)
    
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
            break;
        a[1] = p;
        a[2] = e;
        a[3] = i;
        m[1] = 23;
        m[2] = 28;
        m[3] = 33;
        int ans = CRT(a, m, 3);
        if(ans <= d)
            ans += 21252;
        cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;
    
    return 0;

 

普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

 

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

 

     

 

那么得到

 

      

 

在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入

 

      

 

得到后合并为一个方程的结果为

 

       

 

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

 

题目：http://poj.org/problem?id=2891

 

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1005;

LL a[N], m[N];

LL gcd(LL a,LL b)

    return b? gcd(b, a % b) : a;


void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)

    if(b == 0)
    
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;


LL Inv(LL a, LL b)

    LL d = gcd(a, b);
    if(d != 1) return -1;
    LL x, y;
    extend_Euclid(a, b, x, y);
    return (x % b + b) % b;


bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)

    LL d = gcd(m1, m2);
    LL c = a2 - a1;
    if(c % d) return false;
    c = (c % m2 + m2) % m2;
    m1 /= d;
    m2 /= d;
    c /= d;
    c *= Inv(m1, m2);
    c %= m2;
    c *= m1 * d;
    c += a1;
    m3 = m1 * m2 * d;
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;
    return true;


LL CRT(LL a[], LL m[], int n)

    LL a1 = a[1];
    LL m1 = m[1];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    
        LL a2 = a[i];
        LL m2 = m[i];
        LL m3, a3;
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
            return -1;
        a1 = a3;
        m1 = m3;
    
    return (a1 % m1 + m1) % m1;


int main()

    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
        LL ans = CRT(a, m, n);
        printf("%I64d\\n",ans);
    
    return 0;

 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

 

分析：这个题由于数据范围小，那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整

     数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。

 

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 25;

int a[N], b[N];

int gcd(int a, int b)

    return b ? gcd(b, a % b) : a;


int main()

    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    
        int n, m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0; i<m; i++)
            cin>>a[i];
        for(int i=0; i<m; i++)
            cin>>b[i];
        int lcm = 1;
        for(int i=0; i<m; i++)
            lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];
        bool f = 1;
        for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)
        
            f = 1;
            for(int j=0; j<m; j++)
            
                if(i % a[j] != b[j])
                    f = 0;
            
            if(f)
            
                printf("%d\\n",(n - i) / lcm + 1);
                break;
            
        
        if(f == 0)
            printf("0\\n");
    
    return 0;