什么叫中国剩余定理

Posted 2023-03-25

参考技术A 如果正整数m1、m2、……、mk两两互质，那么同余方程组
x≡a,(mod
mi),
i=1,2,……k
有无穷多解。
且这些解关于模
M=m1,m2,……，mk同余，可表成
x≡a1,M'1M1+a2M'2M2+……+akM'KMK(mod
M).
其中Mk=M/m,而M'k是满足M'kMk=1(mod
mk)的正整数。这一算法后来传入西方，被称为中国剩余定理。
注：互质，也称互素。即两个数的最大公约数(最大公共因数，great
common
divisor)为1,
记号：gcd(a,b)=1.
名题：
三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
即：
1、将军点兵，三三数余2，五五数余3，七七数余2。问兵几何？
2、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?——《孙子算经》
由于孙子算经成书较早，并且较早地介绍了这样的问题，故中国剩余定理的众多异名中，一个著名的另名是：孙子定理。
写成数论记号：同余号≡以下简记为==
x==2
mod
3
==3
mod
5
==2
mod
7
这在数论中称为同余方程组，简称同余式组。
中国剩余定理就是求解同余式组的手段之一(注意，并不是唯一方法)。它的思想是这样的：
求出
x1==1
mod
3
==0
mod
5
==0
mod
7
x2==0
mod
3
==1
mod
5
==0
mod
7
x3==0
mod
3
==0
mod
5
==1
mod
7
那么2x1+3x2+2x3即为所求解x。
如果用向量记法，就更容易理解：
原题：x==(2,3,2)
mod
(3,5,7)
孙子定理：x1==(1,0,0);x2==(0,1,0);x3=(0,0,1)
x==2x1+3x2+2x3.
在求解x1时，显然x1==(0,0)mod
(5,7),即x1被5，7整除。从而可设x1=5*7*k1==1
mod
3.
这里k1就是人们所说的乘率，古人求k1常用的就是大衍求一术。
这种方法实际上就是分化了维度，通过单位向量简化问题。近世代数的许多观点与方法，与这不谋而合，实际是受了中国剩余定理的启发。还有拉格朗日插值法，也与此一致。
同时我们还可以看到，x==(2,3,2)
mod
(3,5,7)
还可以等效于x==(2,2,2)+(0,1,0)，这样无疑是对上述算法的一种改进。正如牛顿插值法相对于拉格朗晶插值的改进。
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中国数学剩余定理

中国剩余定理，又叫中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解的方法。也称为孙子定理，古有"韩信点兵"，"孙子定理"，"求一术"(宋沈括)，"鬼谷算"，"隔墙算"，"剪管术"(宋杨辉)，"秦王暗点兵"之名。
原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数
解答方法：三人同行七十希，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是:将除以3得余数乘以70，将除以5得余数乘以21，将除以7得余数乘以15，全部加起来后再减去105或105的整倍数，得到的数就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23，
结果就是23。
解法举例：
例一：一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？
采用通用的方法：逐步满足法
把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.
所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）
特殊的方法：最小公倍法
除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15+1=16.
例三：一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？
这种情况也可以用最小公倍法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14。
多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
例四：有1个数，除以7余2．除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？
除以7余2的数可以写成7n+2。
7n+2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（乘数之余等于余数之乘），则n最小取6。
所以满足“除以7余2，除以8余4”的最小的数是7×6+2=44，
所有满足“除以7余2，除以8余4”的数都可以写成44+56×m。
要求44+56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（加数之余等于余数之加）
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（乘数之余等于余数之乘），则m最小取2。
所以满足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44+56×2=156。
例五：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。
21n+2除以5余3，要求21n除以5余1。
21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1（乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。
所以满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的数是21×1+2=23。
标准解法：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算 )。即
15÷7=2……余1，
21÷5=4……余1，
70÷3=23……余1.
再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，
15×2+21×3+70×2=233. (将233处用i代替，用程序可以求出)
最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.
233÷105=2……余23，
这个余数23就是合乎条件的最小数.
例六：一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少?
题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
这个数最小是172. 参考技术A 原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数
解答方法：三人同行七十希，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是:将除以3得余数乘以70，将除以5得余数乘以21，将除以7得余数乘以15，全部加起来后再减去105或105的整倍数，得到的数就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23，
结果就是23。
解法举例：
例一：一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？
采用通用的方法：逐步满足法
把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.
所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）
特殊的方法：最小公倍法
除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15+1=16.