CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）

Posted 2023-01-30 xrlong

公式，推导，有点板子题

稍微难一点，其实也挺简单。

CRT:

用途：

给定一个同余方程组，保证所有 \\(m\\) 两两互质:

\\[\\begincases x\\equiv a_1\\pmodm_1 \\\\ x\\equiv a_2\\pmodm_2 \\\\ ... \\\\ x\\equiv a_n\\pmodm_n\\endcases \\]

用于求其解。

具体方法：

自我感觉叫方法好一点，建议理解记忆，公式见下。
首先我们先找一组数 \\(n\\) ,使得：

\\[n_i \\bmod m_i = a_i \\text 或者说 n_i\\equiv a_i\\pmodm_i \\]

因为：如果 \\(a \\bmod b = t\\) 那么 \\((a+k\\times b) \\bmod b = t\\) （比较显然
所以：
如果 \\(m_1 \\mid n_2\\) 那么 \\((n_1 + n_2) \\bmod m_1 = a_1\\)
如果 \\(m_2 \\mid n_1\\) 那么 \\((n_1 + n_2) \\bmod m_2 = a_2\\)
也就是说，要想使

\\[\\begincases n_1 + n_2\\equiv a_1\\pmodm_1 \\\\ n_1 + n_2\\equiv a_2\\pmodm_2\\endcases \\]

只需要

\\[\\begincases m_1 \\mid n_2 \\\\ m_2 \\mid n_1 \\endcases \\]

同理，我们设 \\(sum=\\sum\\limits_i=1^nn_i,M=\\prod\\limits_i=1^nm_i\\) 要想使：

\\[\\begincases sum\\equiv a_1\\pmodm_1 \\\\ sum\\equiv a_2\\pmodm_2 \\\\ ... \\\\ sum\\equiv a_n\\pmodm_n\\endcases \\]

只需要

\\[\\begincases n_1 \\mid m_2,m_3,...,m_n\\\\ n_2 \\mid m_1,m_3,...,m_n \\\\ ... \\\\ n_n \\mid m_1,m_2,...,m_n-1\\endcases \\]

因为所有 \\(m\\) 两两互质，所以只需要

\\[n_i \\mid M \\div m_i \\]

接下来考虑怎么求 \\(n_i\\)
我们设 \\(n_i=M\\div m_i \\times t_i\\)
于是我们只需求一个 \\(t_i\\) ，使其满足

\\[M\\div m_i \\times t \\equiv a_i\\pmodm_i \\]

因为 \\(M\\div m_i\\) 是个常数，所以直接用 \\(exgcd\\)求解即可。
当然也可以先用乘法逆元算 \\(M\\div m_i \\times t \\equiv 1\\pmodm_i\\) 在乘上 \\(a_i\\) ，本质相同。

这样我们就可以求出所有 \\(n_i\\) ，进而求出 \\(x=\\sum\\limits_i=1^nn_i\\)，如果 \\(x\\) 要求最小，只需要 \\(\\bmod M\\) 即可。

公式：

设 \\(M=\\prod\\limits_i=1^nm_i,M_i=M \\div m_i\\)
则

\\[x=\\sum\\limits_i=1^n a_i \\times M_i \\times M_i^-1 \\bmod M \\]

例题

CODE（点击查看）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define llt long long
int n,m[12],a[12];

template<typename T>
inline void read(T &x)
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<\'0\'||\'9\'<s)if(s==\'-\') pd=true;s=getchar();
    while(\'0\'<=s&&s<=\'9\')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;

void exgcd(llt a,llt b,llt &x,llt &y)
	if(b==0) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;


int main()
	read(n);
	long long tm=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(m[i]),read(a[i]),tm*=m[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		long long lm=tm/m[i],x,y;
		exgcd(lm,m[i],x,y);
		x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
		ans=(ans+x*a[i]*lm)%tm;
	
	printf("%lld",ans%tm);

这里推荐一篇博客，讲的很细（我从那里学的，本文也有很多借鉴。

EXCRT

其实和 \\(crt\\) 没有什么关联，单纯推式子。
我们来看一下同余方程组

\\[\\begincases x\\equiv a_1\\pmodm_1 \\\\ x\\equiv a_2\\pmodm_2 \\\\ ... \\\\ x\\equiv a_n\\pmodm_n\\endcases \\]

这里不保证 \\(m\\) 互质
首先看第一二个式子：

\\[\\begincases x\\equiv a_1\\pmodm_1 \\\\ x\\equiv a_2\\pmodm_2\\endcases \\]

变形得到：

\\[\\begincases x = a_1 + m_1k_1 \\\\ x = a_2 + m_2k_2\\endcases \\]

\\[\\therefore a_1+m_1k_1=a_2+m_2k_2 \\]

整理：

\\[m_1k_1-m_2k_2=a_2-a_1 \\]

运用 \\(exgcd\\) 解得 \\(k_1\\) 的一组解：

\\[k_1=r \\]

\\[\\therefore k_1 \\text 的通解为 k_1=r+\\fracm_2\\gcd(m_1,m_2) \\times t \\mid t \\in Z \\]

将上式带入 \\(x = a_1 + m_1k_1\\) 得：

\\[x=a_1+m_1r+\\fracm_1m_2\\gcd(m_1,m_2)\\times t \\]

\\[\\because \\operatornamelcm(m_1,m_2)=\\fracm_1m_2\\gcd(m_1,m_2) \\]

\\[\\therefore x=a_1+m_1r+\\operatornamelcm(m_1,m_2)\\times t \\]

变形得到：

\\[x\\equiv a_1+m_1r\\pmod\\operatornamelcm(m_1,m_2) \\]

于是我们就成功将两个同余方程化简成了一个。
同理化简下去直到一个，求解即可。

例题

CODE（点击查看）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define llt long long
__int128 n,na=0,nm=1;

template<typename T>
inline void read(T &x)
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<\'0\'||\'9\'<s)if(s==\'-\') pd=true;s=getchar();
    while(\'0\'<=s&&s<=\'9\')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;

llt gcd(llt a,llt b)return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
llt lcm(llt a,llt b)return a/gcd(a,b)*b;
void exgcd(__int128 a,__int128 b,__int128 &x,__int128 &y)
	if(b==0) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;

inline void hebing(llt a,llt m)
	llt sa=a-na;
	__int128 x,y;
	llt gd=gcd(nm,m);
	exgcd(nm,m,x,y);
	llt lm=m/gd;x*=(sa/gd),y*=(sa/gd);
	x=(x%lm+lm)%lm;
	na=na+nm*x;
	nm=lcm(nm,m);


int main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	read(n);
	for(llt a,m,i=1;i<=n;i++) read(m),read(a),hebing(a,m);
	__int128 x,y;
	exgcd(1,nm,x,y);
	x=(x*na%nm+nm)%nm;
	long long ans=x; 
	printf("%lld",ans);

参考博客：https://www.cnblogs.com/sparkyen/p/11432052.html

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

本文来自博客园，作者：xrlong，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/xrlong/p/17073430.html