中国剩余定理与扩展中国剩余定理

Posted 2022-06-14 horizonwd

中国剩余定理（CRT）

我好蔡啊
不学这个东东我连任意模数\(NTT\)都学不了

问题

中国剩余定理用于求解同余方程组

\[ \left\ \beginaligned x≡a_1(\mod m_1)\x≡a_2(\mod m_2)\......\x≡a_k(\mod m_k) \endaligned \right. \]

其中\(m_1,m_2,...,m_k\)两两互质
求\(x\)的最小非负整数解

定理

令\(M=\prod_i=1^km_i\)，也就是它们的最小公倍数
设\(t_i\)为\(M\over m_it_i≡1(\mod m_i)\)的最小非负整数解
那么有一个\(x\)解为\(\sum_i=1^ka_iM\over m_it_i\)
通解为\(x+kM(k\in \Z)\)，最小非负整数解为\((x\% M+M)\%M\)

证明

对于\(M\over m_i\)，它一定是其他\(m\)的倍数且不整除\(m_i\)（注意限制）
那么\(?k≠i,a_iM\over m_it_i≡0(\mod m_k)\)，这个是因为\(M\over m_i\mod m_k=0\)
由于\(M\over m_it_i≡1(\mod m_i)\)，所以\(a_iM\over m_it_i≡a_i(\mod m_i)\)
又因为\(x=\sum_i=1^ka_iM\over m_it_i\)，代入方程组，方程组成立

code

容易发现因为\(M\over m_it_i≡1(\mod m_i)\)
其实就是求\(M\over m_i\)关于\(m_i\)的逆元
扩欧实现好了

inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)

    if (b==0)x=1,y=0;return a;
    ll ans=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);return ans;

inline ll CRT(ll a[],ll m[],ll n)

    ll M=1ll,x,y,ans=0ll;
    fo(i,1,n)M*=m[i];
    fo(i,1,n)
    
        ll tmp=M/m[i];exgcd(tmp,m[i],x,y);
        ans=(ans+a[i]*x*tmp)%M;
    
    return (ans+M)%M;

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扩展中国剩余定理（EXCRT）

问题

扩展中国剩余定理用于求解同余方程组

\[ \left\ \beginaligned x≡a_1(\mod m_1)\x≡a_2(\mod m_2)\......\x≡a_k(\mod m_k) \endaligned \right. \]

其中\(m_1,m_2,...,m_k\)不保证两两互质
求\(x\)的最小非负整数解

求解

设前\(k-1\)条方程组成的方程组的一个解为\(x\)
令\(M=\prod_i=1^k-1m_i\)，那么通解就为\(x+kM(k\in\Z)\)

那么考虑加入第\(k\)条方程，即求一个\(t\in\N^+\)，使
\(x+tM≡a_k(\mod m_k)\)，也就是\(tM≡a_k-x(\mod m_k)\)
由于\(M,a_k,x,m_k\)都已知，可以看作\(ax≡c(\mod b)\)
这个也可以用扩欧解

扩欧可以直接解出\(ax+by=gcd(a,b)\)的解\(x_0,y_0\)
于是如果直接解\(ax+by=c\)，\(x_0\)还要除掉\(c\over \gcd(a,b)\)就是\(x_0c\over \gcd(a,b)\)
原方程相当于\(ax\mod b=c\)，转化为\(ax+by=c\)，用上面的方法解就好了
注意如果不满足\(gcd(a,b)|c\)，这条方程无解，整个方程组也无解
好像就是这样了，一共要做\(n-1\)次扩欧，注意各种取模细节

code

inline ll mul(ll x,ll y,ll mod)

    return (x*y-(ll)((long double)x/mod*y)*mod+mod)%mod;     

inline ll EXCRT(ll a[],ll m[],ll n)

    ll M=m[1],x,y,ans=a[1];
    fo(i,2,n)
    
        ll gcd=exgcd(M,m[i],x,y),tmp=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
        if (tmp%gcd!=0)return -1;
        x=mul(x,tmp/gcd,m[i]/gcd);
        ans+=x*M,M*=m[i]/gcd,ans=(ans%M+M)%M;
    
    return (ans%M+M)%M;

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后记

感觉这种数学的东西还得多学多记多背……
本人版权意识薄弱……

• 本博客部分知识学习于

• https://blog.csdn.net/niiick/article/details/80229217