bzoj2142 礼物

Posted 2020-10-06 wfj_2048

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；

第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100
4 2
1
2

Sample Output

12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

 

正解：扩展$lucas$定理。

答案是什么就不说了，难点在于模数不是质数。

使用扩展$lucas$定理，可以解决模数是质数的$k$次方的情况，然后我们再用$CRT$就可以把答案合并。

具体就不说了，推荐一个讲得很好的博客：扩展lucas定理

注意一个地方，就是阶乘的$p$因子个数，在下面代码的$get$函数中求。

还有一点，此题细节巨多，因为没给出$p$的范围，所以任何地方都要考虑会不会爆。。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 ll a[10],m,n,pp,sum,ans,rhl;
 9 
10 il ll qpow(RG ll a,RG ll b,RG ll p){
11   RG ll ans=1;
12   while (b){
13     if (b&1) (ans*=a)%=p;
14     (a*=a)%=p,b>>=1;
15   }
16   return ans;
17 }
18 
19 il ll inv(RG ll a,RG ll p,RG ll pr){
20   return qpow(a,pr/p*(p-1)-1,pr);
21 }
22 
23 il ll get(RG ll n,RG ll p){
24   RG ll ans=0; for (;n;n/=p) ans+=n/p; return ans;
25 }
26 
27 il ll fac(RG ll n,RG ll p,RG ll pr){
28   if (!n) return 1; RG ll ans=qpow(pp,n/pr,pr);
29   for (RG ll i=2;i<=n%pr;++i) if (i%p) (ans*=i)%=pr;
30   return ans*fac(n/p,p,pr)%pr;
31 }
32 
33 il ll C(RG ll n,RG ll m,RG ll p,RG ll pr){
34   if (n<m) return 0; RG ll a,b,c,ans; pp=1;
35   for (RG ll i=2;i<=pr;++i) if (i%p) (pp*=i)%=pr;
36   ans=qpow(p,get(n,p)-get(m,p)-get(n-m,p),pr);
37   a=fac(n,p,pr),b=fac(m,p,pr),c=fac(n-m,p,pr);
38   (ans*=a*inv(b,p,pr)%pr*inv(c,p,pr)%pr)%=pr;
39   return ans*(rhl/pr)%rhl*inv(rhl/pr%pr,p,pr)%rhl;
40 }
41 
42 int main(){
43 #ifndef ONLINE_JUDGE
44   freopen("gift.in","r",stdin);
45   freopen("gift.out","w",stdout);
46 #endif
47   cin>>rhl>>n>>m;
48   for (RG ll i=1;i<=m;++i) cin>>a[i],sum+=a[i];
49   if (sum>n) puts("Impossible"),exit(0); ans=1;
50   for (RG ll i=1,P,res,pr;i<=m;++i){
51     P=rhl,res=0;
52     for (RG ll j=2;j*j<=P;++j){
53       if (P%j) continue; pr=1;
54       while (P%j==0) P/=j,pr*=j;
55       (res+=C(n,a[i],j,pr))%=rhl;
56     }
57     if (P!=1) (res+=C(n,a[i],P,P))%=rhl;
58     (ans*=res)%=rhl,n-=a[i];
59   }
60   cout<<ans; return 0;
61 }