BZOJ 2142: 礼物

Posted 2020-09-05 NeighThorn

2142: 礼物

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Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 4 2 1 2

Sample Output

12

【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

Source

分析：

如果$p$是个质数这就没什么可做的了...

现在$p$不是质数，显然我们可以用中国剩余定理合并...

那么考虑如何计算$\textrm{C}_{n}^{m}%p_i^c_i$...

发现$\textrm{C}_{n}^{m}$可以表示成$\frac {n!}{m!(n-m)!}$，可以转化为以下形式：$\frac {a_1p^{b_1}}{a_2p^{b_2}a_3p^{b_3}}$，其中$a_1a_2a_3$都是不包含$p$这个质因子的，那么就可以直接求逆元了...

所以问题就转化为了如何把$n!$转化成$ap^b$...

我们可以把$p,2*p,3*p......\frac {n}{p}*p$都取出来，然后同时取出一个$p$，这样$b$就加上了$\frac {n}{p}$，然后这些数字就变成了$\frac {n}{p}!$，可以递归处理，那么剩余的不包含$p$的数字我们就直接把这些数字乘到$a$上去，就处理完了...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
#define int long long
#define mp make_pair
#define pa pair<int,int>
using namespace std;

const int maxn=100000+5;

int n,m,p,cnt,a[maxn],s[maxn],w[maxn],pri[maxn],Mod[maxn];

inline int power(int x,int y,int mod){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1) 
			res=res*x%mod;
		x=x*x%mod,y>>=1;
	}
	return res;
}

inline int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	int s=ex_gcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
	x=y;y=tmp-a/b*y;
	return s;
}

inline int CRT(int a[],int Mod[],int n){
	int M=p,ans=0;
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++){
		ex_gcd(M/Mod[i],Mod[i],x,y);
		ans=(ans+M/Mod[i]*x*a[i])%M;
	}
	if(ans<0) ans+=M;
	return ans;
}

inline int inverse(int a,int mod){
	int x,y;
	ex_gcd(a,mod,x,y);
	return (x%mod+mod)%mod;
}

inline pa get_fac(int id,int n){
	if(n==0) return mp(0,1);
	int x=n/pri[id],y=n/Mod[id],ans=1;
	if(y){
		for(int i=2;i<Mod[id];i++)
			if(i%pri[id]!=0) ans=ans*i%Mod[id];
		ans=power(ans,y,Mod[id]);
	}
	for(int i=y*Mod[id]+1;i<=n;i++)
		if(i%pri[id]!=0) ans=ans*i%p;
	pa tmp=get_fac(id,x);
	return mp(x+tmp.first,ans*tmp.second%p);
}

inline int calc(int id,int n,int m){
	if(n<m) return 0;
	pa a=get_fac(id,n),b=get_fac(id,m),c=get_fac(id,n-m);
	return power(pri[id],a.first-b.first-c.first,Mod[id])
	       *a.second%Mod[id]
		   *inverse(b.second,Mod[id])%Mod[id]
		   *inverse(c.second,Mod[id])%Mod[id];
}

inline void prework(int x){
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0){
			pri[++cnt]=i;Mod[cnt]=1;
			while(x%i==0) Mod[cnt]*=i,x/=i;
		}
	if(x>1) pri[++cnt]=x,Mod[cnt]=x;
}

inline int solve(int n,int m){
	for(int i=1;i<=cnt;i++) a[i]=calc(i,n,m);
	return CRT(a,Mod,cnt);
}

signed main(void){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif 
	scanf("%lld%lld%lld",&p,&n,&m);prework(p);
	int sum=0;for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&w[i]),sum+=w[i];
	if(sum>n){puts("Impossible");return 0;}
	long long ans=solve(n,sum);
	for(int i=1;i<=m;i++) 
		ans=ans*solve(sum,w[i])%p,sum-=w[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

　　

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