HDU4045-第二类斯特林数

Posted 2020-10-06 水明

题意

有n台机器，每天选择r台，要求任意两台编号差值不小于k，并且r台机器分成不超过m组。求不重样的选择有多少种组合（可以选多少天）。

数据范围$1\leqslant n,r,k,m\leqslant1000$。

分析

首先从n个元素中选r个元素，任意两台编号差值不小于k

可以推断出是把$n-r-(k-1)(r-1)$个相同的球放入$r+1$个盒子里的方案数

方案数为$\binom{n-(k-1)(r-1)}{r}$

 

然后把$r$个元素分成$m$组，允许有空组

方案数为$\sum_{i=1}^{m}S(r,j)$

其中$S$是第二类斯特林数

 

结论就是$\binom{n-(k-1)(r-1)}{r}\sum_{i=1}^{m}S(r,j)$

注意数据合法性，$n\geqslant (r-1)k+1$

代码

#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX     1007
#define MAXN      10007
#define MAXM      20007
#define INF  0x3f3f3f3f
#define NINF 0xc0c0c0c0
#define MOD  1000000007
using namespace std;
typedef long long LL;

LL C[MAX][MAX]={0},S[MAX][MAX]={0};
//组合数 
void initC(){
    for(int i=0;i<MAX;i++){
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++){
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
        }
    }
}
//第二类斯特林数 
void initS2(){
    for(int i=0;i<MAX;i++){
        S[i][i]=S[i][1]=1;
        for(int j=2;j<i;j++){
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j]%MOD)%MOD;
        }
    }
}
int main(){
	LL n,r,k,m;
	initC();
	initS2();
	while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&r,&k,&m)){
	    if(n<k*(r-1)+1){
	        printf("0\n");
	        continue;
        }
		LL ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			ans=(ans+S[r][i])%MOD;
		}
		ans=ans*(C[n-(k-1)*(r-1)][r])%MOD;
		printf("%lld\n",ans);
	}
    return 0;
}