算法之最小生成树(继续畅通工程)

Posted 2020-10-06 那年盛夏

个人比较爱好刷算法题，然后最近遇到一个算法题，是最小生成树的问题，是继续畅通工程，首先先看下具体要求：

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。现得到城镇道路统计表，表中列出了任意两城镇间修建道路的费用，以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。

输入描述:

    测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 )；随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态，每行给4个正整数，分别是两个村庄的编号（从1编号到N），此两村庄间道路的成本，以及修建状态：1表示已建，0表示未建。

    当N为0时输入结束。

输出描述:

    每个测试用例的输出占一行，输出全省畅通需要的最低成本。

示例1

输入

3
1 2 1 0
1 3 2 0
2 3 4 0
3
1 2 1 0
1 3 2 0
2 3 4 1
3
1 2 1 0
1 3 2 1
2 3 4 1
0

输出

3
1
0
然后分析，这个题的实际就是最小生成树的问题，可以采用prim算法和kruskal算法，然后最后计算生成树的边数的总和，则就是要的结果，但是这个题比较巧妙的是又添加了一个附加条件，则是有的路已经修了，所以这个需要在输入的时候做一点点小小的改动，那就是对于已经修好的路，我们需要将其边的权重设置为0，这样，则不需要在原算法上做任何修改，则可以实现。
使用的prim算法（具体的prim算法的思路这里不再阐述了）

#include <stdio.h>

using namespace std;
//定义这个图的存储方式，个人比较喜欢用矩阵的方式，也可以使用邻接表的方法
int tree[100][100];
//记录点遍历的信息
bool isFind[100];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF && n!=0)
    {
　　　　　//初始化数据
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            for(int j = 0; j<n;j++)
               tree[i][j] = -1;
            isFind[i] = false;
        }
　　　　　//输入数据，做一个小操作，如果输入为1，则权重为0
        for(int i =0 ; i< n*(n-1)/2;i++)
        {
            int a,b,c,d;
            scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
            if(d == 1)
            {
                c = 0;
            }
            tree[a-1][b-1] = c;
            tree[b-1][a-1] = c;
        }
　　　　 //用来统计路径
        int countDistance = 0;
        while(true)
        {
            int minDistance = 10000;
            int minNode = 0;
            //找寻当前未遍历的点中最短的路径
            for(int i = 1 ;i<n;i++)
            {
                if(!isFind[i]&&minDistance>tree[0][i])
                {
                    minDistance = tree[0][i];
                    minNode = i;
                }
            }
　　　　　　　//更新相关数据，遍历信息和总长度信息
            isFind[minNode] = true;
            countDistance += minDistance;
            int isResult = true;
　　　　　　　//判断是否已经遍历完所有的点，是则退出，否则继续循环
            for(int i = 1 ;i<n;i++)
            {
                if(!isFind[i])
                    isResult = false;
            }
            if(isResult)
                break;
            //如果没有遍历完，更新当前树与未遍历的点的信息
            for(int i = 1;i<n;i++)
            {
                if(!isFind[i])
                {
                    if(tree[minNode][i]<tree[0][i])
                        tree[0][i] = tree[minNode][i];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",countDistance);
    }
    return 0;
}

下面则是kruskal算法的实现：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>

using namespace std;
#define N 101
int Tree[N];

struct Edge {
    int a, b;//边两个顶点的编号
    int cost;//该边的权值

    bool operator<(const Edge &A) const {//重载小于号使其可以按照边权从小到大排序
        return cost < A.cost;
    }
} edge[6000];

int findRoot(int x) {//查找代表集合的树的根节点
    if (Tree[x] == -1) {
        return x;
    } else {
        int temp = findRoot(Tree[x]);
        Tree[x] = temp;
        return temp;
    }
}

int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) {
        int m = n * (n - 1) / 2;
        int d;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d %d %d %d", &edge[i].a,
                  &edge[i].b, &edge[i].cost,&d);
            if(d == 1)
                edge[i].cost = 0;
        }
        sort(edge + 1, edge + m + 1);
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            Tree[i] = -1;
        }
        int count = 0;//最小生成树上边权的和，初始值为0
        for (int i = 1; i <= m; i++) {//按照边权值递增排序遍历所有的边
            int aRoot = findRoot(edge[i].a);
            int bRoot = findRoot(edge[i].b);//查找两个顶点的集合信息
            if (aRoot != bRoot) {
                Tree[aRoot] = bRoot;//合并两个集合
                count += edge[i].cost;//累加该边权值
            }
        }
        printf("%d\n", count);//输出
    }

    return 0;
}