Dilworth Theory

Posted 2020-10-05

1.　偏序关系

　　设 A 是一个非空集合, 若 A 上的一个关系 $\le$ , 满足自反性, 反对称性, 传递性, 则称 $\le$ 是 A 上的一个偏序关系.

　　即 $\le$ 满足下列条件:

　　　　1.　$\forall x \in A, x \le x$ .

　　　　2.　$\forall x, y \in A, x \le y, y \le x \Rightarrow x = y$ .

　　　　3.　$\forall x, y, z \in A, x \le y, y \le z \Rightarrow x \le z$ .

　　带偏序关系 $\le$ 的集合 A 叫做偏序集 $(A, \le)$ .

　　若 $x \in A, y \in A$ , $x \le y$ 或 $y \le x$ , 则称 x 和 y 是可比的, 反之称 x 和 y 不可比.

2.　链与反链　图论建模

　　在偏序集 $(A, \le)$ 中, 对于 $x \in A$ , 若 $\forall y \in A, y \le x \Rightarrow y = x$ , 那么称 x 为偏序集 $(A, \le)$ 中的极小元.

　　对于 $P \subset A$ , 若 P 中的任意两个元素都是可比的, 则称 P 为 A 的一条链.

　　对于 $P \subset A$ , 若 P 中的任意两个元素都是不可比的, 则称 P 为 A 的一条反链.

 

　　我们尝试将每个元素当做一个点.

　　若 $x \le y$ , 则将 x 与 y 连一条边.

　　那么链为一条路径, 反链的任意两个点不在一条路径上.

3.　Dilworth Theory

　　定理1　　对于偏序集 $(A, \le)$ , 设最长链的长度为 r , 则 $(A, \le)$ 可以划分为 r 个但不能再少的反链.

　　证明

　　　　(1)　不能少于 r 个.

　　　　　　反设最少能划分到 x 条反链, x < r .

　　　　　　而我们存在一条长度为 r 的链.

　　　　　　根据抽屉原理, 至少存在一条反链中存在了链 r 中的两个点, 而链 r 中的任意两个点可比, 所以矛盾.

　　　　(2)　能达到 r 个.

　　　　　　极小元间都是互补可比的.

　　　　　　我们每次在集合 A 中取出极小元作为一条新的反链.

　　　　　　恰好 r 次能将集合清空.

 

　　当然我还想到了另外一种构造方法.

　　我们令 $L_i = \max_{j} L_j + 1$ .

　　对图按照 L 进行分层.

　　那么每次去除第 L 层, 最后也能在 r 次清空.

 

　　定理1 的对偶定理被称为 Dilworth 定理.

　　定理2 ( Dilworth定理 )

　　　　对于偏序集 $(A, \le)$ , 设最长反链的长度为 m , 则集合可以被划分为 m 条但不能再少的链.

　　这里的证明我不大会.

　　我只会构建与 $\le$ 对偶的偏序关系 $\ge$ , 那么 $(A, \le)$ 的链为 $(A, \ge)$ 中的反链一一对应, $(A, \le)$ 中的反链与 $(A, \ge)$ 中的链一一对应, 然后对 $(A, \ge)$ 应用定理1.