Dilworth定理证明

Posted 2020-09-06 lvmememe

 命题：偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等。

（离散数学结构第六版课本P245：把一个偏序集划分成具有全序的子集所需要的最少子集个数与元素在偏序下都是不可比的最大集合的基数之间有什么关系？）

 

证明：

设偏序集S。S能划分成的最少的全序集的个数为K，S的最大反链的元素个数为M。

1. 先证明K>=M。设反链A={a1,a2,...,aM}。假设K<M，那么由抽屉原理，必然有两个元素ai,aj在同一个全序集中。那么ai,aj可比。与ai,aj不可比矛盾。

2. 再证明K=M。用第二数学归纳法。

　　设全序集S中有C个元素。

　　(1)当C=0和C=1时，对于命题结论显然成立。

　　(2)假设C<n时命题成立，现在证C=n时，命题也成立。

　　　　设x为S中的一个极大元。考虑S‘=S-{x}这个偏序集。由于|S‘|<n，由归纳假设，S‘满足命题。设 S‘ 能划分成的最小的全序集个数为k，最大反链的元素个数为m，则有k=m。那么我们设S‘被划分成了k个链分别为A1,A2,...,Ak。设所有长度为k的反链分别为B1,B2,...,Br。（假设有r条长度为k的反链）

　　　　那么对于任意一个Bi，Bi的元素必定是k条链上，每条链取一个元素，设为ai1,ai2,...,aik。

　　　　那么我们考虑集合B= {b1,b2,...,bk}={ max(ai1), max(ai2), max(ai3), ... , max(aik) }。 这个集合一定也是一条反链。（用反证法很容易证明，假设存在两个元素bi,bj可比，不妨设bi<=bj。那么bi所在链的每个a都与bj可比，与i上存在一个a与bj不可比矛盾。）

　　　　现在考虑加入元素x的集合S。一个显然的事实是，加入一个极大元，不可能让划分的最少链个数更少，但是也不能让链的个数增加2及以上（否则肯定不满足最少链）。也不能让反链的最大长度更小。

　　　　分两种情况：

　　　　①如果x这个极大元与S中其他元素都不可比，那么x只能单独成一个链。那么最少能划分的链的个数显然是k+1，而且反链的个数也加了1，因此也是k+1。这样，对于这种情况，命题对于C=n时也成立了。

　　　　②如果x与S中的某个元素e可比，那么x一定比e中的每个元素都大（感觉这里是错的。。推不下去了。。）