关于实数连续性和完备性等价证明中的疑惑

Posted 2023-05-07

《数学分析》教材里的论证顺序是这样的
首先用未学到的级数知识证明了确界存在定理(同时用戴得金切割法也证明了确界存在定理)
也就是证明了实数的连续性
第二用确界存在定理证明了单调有界数列收敛定理
第三是用单调有界数列收敛定理证明了闭区间套定理
第四是用闭区间套定理证明了Bolzano-Weierstrass定理
最后用Bolzano-Weierstrass定理证明了柯西收敛原理，也就是实数的完备性。
这里说明了实数的连续性包含了实数的完备性

接着又想办法证明了实数的完备性包含了实数的连续性，说明实数的连续性和完备性是等价的
具体步骤如下：
1 用柯西收敛原理证明了闭区间套定理
2 用闭区间套定理证明了确界存在定理

总的论证步骤如上所述。但这里我有了一点疑问，这个论证不是明显有问题嘛。疑惑如下；
在用柯西收敛原理证明闭区间套定理，然后进一步证明确界存在定理的前提，也就是柯西收敛原理，本身是从闭区间套定理证明的Bolzano-Weierstrass定理中衍生证明那个而来的，
同时闭区间套定理其实也是从确界存在定理中衍生出的单调有界数列收敛定理中衍生证明出来的。

那这个过程其实是首先用前提证明结论，然后用结论再证明前提。然后说前提和结论是等价的。
这样一来，不是循环论证么？

或者我怎么理解，这几个定理其实都是一个假设的前提而已，是“描述”一个客观存在的公理，只是从不同角度去“描述”而已。而微积分其实就是建立在这个“假设的公理”上的一系列推理而已。那么说到底，可以把这几个定理代表的“公理”和整个微积分体系看成浑然一体的，换句话说，从这个层次上来看，整个微积分体系也不过是一个假设而已。

不知道我这样理解对么？肯定老师们指点，谢谢
那么，我可不可以这么理解
整个过程可以理解如下：
先从戴得金切割法为出发点证明A（确界存在定理），再从A出发证明B（柯西收敛原理），然后再从B出发证明A。

所以，1，如果从戴得金切割法作为起点来看，整个过程不是循环论证。
2，如果从A作为起点来看，那么整个过程就是循环论证
3，但不管整个过程是否是循环论证，书上在这里表述的是，以命题A（确界存在定理）为前提能推出命题B（柯西收敛原理），同时以命题B为前提能推理出命题A。这里不管命题A和B是否是真命题，但是因为两个命题可以互推，所以说A和B这两个命题是等价的。

我这3个理解对么？

PS:那位说100分的仁兄，只要你能解答我的疑惑，100分就100分。我结贴的时候会追加的

你要清楚，实数完全是人造的，人造实数的目的就是解决
（1）无理数
（2）有理数列极限不再是有理数
这两个问题。

定义实数的方法有两种：
（1）戴德金切割
（2）柯西收敛原理
注意此时我们还不知道什么是实数，只能对 有理数 做上面两种定义。

这样定义出来的东西的集合，叫实数集，再用 抽象代数 和 数理逻辑 方法，证明实数集有个 子集 和 有理数集 具有完全一样的性质（指 运算性质 和 排序性质），
这个 子集 的元素叫做 有理实数，因为跟 有理数 性质完全相同，一般不加区别，也叫 “有理数”。

实数几个定理相互等价，可以互相证明。
上面定义实数的方法，实际上把实数的客观实在性归结为有理数的客观实在性，
用类似方法，从整数出发定义有理数，从自然数出发定义整数，
最终实数的客观性归结为自然数的存在性，也就是 皮亚诺自然数公理http://baike.baidu.com/view/342820.htm

如果再深究，就由自然数公理进入 公理集合论，比如ZFC公理系统。
它里面的某些公理是无法证明的，由此产生了哥德尔不完备性定理。
哥德尔第一不完备性定理的意思是说，如果一个系统包含 皮亚诺自然数公理，那在这个系统内部是不能证明自己对错的。

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(1)是对的，
（2）这个说法挺别扭的。从戴德金切割出发可以证明6个定理中任何一个，比如说A，再从A出发去证明其它5个定理，
一般数学书上之所以搞成6个定理互相证明，跟作者只想以这6个定理为起点、不过多探讨微积分以外的东西有关，
（3）对的，数理逻辑中等价连接词的定义就是两个命题同时真或同时假

to 982413，
不能说百度百科的东西就一定肤浅，从peano系统推出全部算术和实数系统的过程知道的人真的不是很多 参考技术A “在用柯西收敛原理证明闭区间套定理，然后进一步证明确界存在定理的前提，也就是柯西收敛原理，本身是从闭区间套定理证明的Bolzano-Weierstrass定理中衍生证明那个而来的”
我怎么没看出来，你再多看几遍证明，怎么会有那么低级的错误 参考技术B 你给我一百分，我就告诉你，这个不是搞数学的都答不上，呵呵！

百科里的东西谁都知道，不要这么肤浅，你要真想见识见识数学，就给100分

我让你看看数学的奥秘

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/77540035.html?ansup1

02如何设计一个"好的"测试用例

一、"好的"测试用例一定是一个完备的集合，它能够覆盖所有等价类以及各种边界值，而跟能否发现缺陷无关

二、好的测试用例必须具备的三个特征

　　1、整体完备性："好的"测试用例一定是一个完备的整体，是有效测试用例组成的集合，能够完全覆盖测试需求

　　2、等价类划分的准确性：指的是对于每个等价类都能保证只要一个输入测试通过，其它输入也一定测试通过

　　3、等价类集合的完备性：需要保证所有可能的边界值和边界条件都已经正确识别

三、三种最常用的测试用例设计方法

　　1、等价类划分方法：分为有效等价类和无效等价类 【我们在测试中无效等价类也是必须要进行测试的】

　　2、边界值分析方法：在测试过程中，大量的错误发生在输入输出的边界值上，所以我们要对边界值进行重点测试，通常选取正好等于、刚刚大于或刚刚小于边界的值作为测试数据

　　3、错误推测方法：指基于对被测软件系统设计的理解、国王经验及个人直觉，推测出软件可能存在的缺陷，从而有针对性的设计测试用例的方法

四、关于测试用例本身的设计，有两个关键点需要注意：

　　1、从软件功能需求出发，全面地、无遗漏地识别出测试需求是至关重要的，这将直接关系到用例的测试覆盖率

　　2、对于识别出的每个测试需求点，需要综合运用等价类划分、边界值分析和错误推测方法来全面的设计测试用例

五、用例设计的其它经验

　　1、只有深入理解被测试软件的架构，你才能设计出"有的放矢"的测试用例集，去发现系统边界以及系统集成上的潜在缺陷

　　2、必须深入理解被测软件的设计与实现细节，深入理解软件内部的处理逻辑

　　3、需要引入需求覆盖率和代码覆盖率来衡量测试执行的完备性，并以此为依据找出漏洞的测试点

六、其它的：

　　1、在评论中，有讨论到，从用户体验出发完善测试用例，例如一些UI交互设计、banner按钮位置、不同客户端的收拾快捷操作习惯等，作为测试人员应该是比产品和开发更了解用户使用习惯的

　　2、在编写测试用例中，需要把需要分析透彻，并不是把需求一段段copy下来就变成测试用例了

　　3、有些公司在产品开发和需求迭代速度上比较快，来不及对测试用例进行精细划分，也可使用Xmind思维导图的形式，来设计测试用例，梳理出思路来

七、最后补充的：

　　不管是测试、开发或者产品以及UI设计，大家都是一个团队，目的就是把"好"的产品交付给用户使用，所以在实际生产中，大家一定要相互配合，保证每次迭代顺利上线交付。

　　

说明：教程来源极客时间--软件测试52讲，作者：茹炳晟   

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