poj3219--二项式系数--组合数的奇偶性

Posted 2020-10-05 BK-Edwina

Description

二项式系数C(n, k)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。二项式系数可以如下递归的定义：

C(1, 0) = C(1, 1) = 1；
C(n, 0) = 1对于所有n > 0；
C(n, k) = C(n ? 1, k ? 1) + C(n ? 1, k)对于所有0 < k ≤ n。

给出n和k，你要确定C(n, k)的奇偶性。

Input

输入包含多组测试数据。每组测试数据一对整数n和k(0 ≤ k ≤ n < 2³¹)，占据独立一行。

文件结束符（EOF）表示输入结束。

Output

对每组测试数据，输出一行，包含一个“0” 或一个“1”，即C(n, k)除以2的余数。

Sample Input

1 1
1 0
2 1

Sample Output

1
1
0

题解：

　　对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

　　证明转载自：http://wenda.tianya.cn/question/6a073ef33b8fdffa

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int n,k;
 6     while(cin>>n>>k)
 7     {
 8         if((n&k)==k)
 9             cout<<1<<endl;
10         else 
11             cout<<0<<endl;
12     }
13     return 0;
14 }

View Code

 

　　证明：
　　利用数学归纳法：
　　由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
　　对应于杨辉三角：
　　1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k &gt; 0) 满足结论的情况下，
　　C(n,k)满足结论。
　　1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
　　。
　　现假设n&k == k。
　　则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
　　因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　现假设n&k == k.
　　则对于k最后一位为1的情况：
　　此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。
　　而对于k最后一位为0的情况：
　　则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
　　相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
　　而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
　　则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
　　3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
　　所以k的末尾必有一部分形如：10;
　　相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;
　　相应的，k-1的对应部分为： 01;
　　则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
　　所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
　　所以 n&k = k。
　　4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　分两种情况：
　　当k-1的最后一位为0时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 10;
　　相应的，k的对应部分为 : 11;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
　　所以n&k = k。
　　当k-1的最后一位为1时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
　　相应的，k的对应部分为 : 10;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 10;
　　所以n&k = k。
　　由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。
　　综上，结论得证!