二项式定理组合数学二进制Divan and bitwise operations

Posted 2022-02-17 行码棋

二项式定理前置知识

二项式系数相关性质：

• 对称性：$C_n^m=C_n^{n-m}$
• 增减性与最大值：二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，中间取最大值。
  最大值$max=\begin{array}{l}{C}_n^{\frac{n}{2}}\\ C_n^{\frac{n-1}{2}}=C_n^{\frac{n+1}{2}}\end{array}$
• 二项式系数之和：$C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$
• 二项式奇数项系数之和等于偶数项系数之和，即
  $C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=C_n^2+C_n^4+C_n^6+...=2^{n-1}$

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题目链接

https://codeforces.com/problemset/problem/1614/C

给定一个序列一些子区间的 所有元素的 或 值，求出原序列所有子序列异或值的和

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• 如果整个序列构造出来，如何求子序列的异或和？
  思路：按位考虑求每一位对答案的贡献
  子序列的话，可以考虑排列组合的方法求所有情况的贡献。
  设第i位为1的数字有k个，则为0的数有n-k个。异或值只有奇数个1才会产生贡献，所以从k个1中选择奇数个。而剩下的0可以随便选择，情况为$2^{n-k}$。
  产生的贡献为$w=\begin{array}{l}{2}^{i-1}\ast (C_k^1+C_k^3+...+C_k^{k-1})\ast 2^{n-k},k为偶数\\ 2^{i-1}\ast (C_k^1+C_k^3+...+C_k^{k-1})\ast 2^{n-k}，k为奇数\end{array}$
  根据二项式定理得：$w=2^{i-1}\ast 2^{k-1}\ast 2^{n-k}=2^{i-1}\ast 2^{n-1}$
  可见： 只要该位中至少有一个数为1，就会产生贡献，而且产生的贡献相同（只有对应的i不同）
• 所以构造序列就没有必要了。只需要对所有的区间或值或起来，得到最终的一个值，如果对应位为1，那么该位必然至少有一个1,就可以产生贡献。
• 计算：相同项保留，只有i不同，这一项所有的相加，就是该位为1时对应的二进制值相加，这一个项所有相加的结果为 所有值的或。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7,N = 2e5+5;
typedef long long ll;

int n,m;
ll fact[N];

void solve()

	int l,r,x;
	cin>>n>>m; 
	ll res = 0;
	while(m--)
	
		cin>>l>>r>>x;
		res |= x;
	
	cout<<res * fact[n-1] % mod<<endl;

int main()

	int t;
	cin>>t;
	fact[0] = 1;
	for(int i=1;i<N;i++) fact[i] = fact[i-1]*2%mod;
	while(t--) solve();
	return 0;