关于矩阵

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于矩阵相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 共轭复数:

一个复数 的复共轭为:

矩阵 $A$ 的共轭转置 $A^*$(又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置)定义为:

 

其中 $(\\cdot )_{i,j}$表示矩阵i行j列上的元素, ${\\bar{(\\cdot )}}$ 表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作:

其中 $A^T$ 是矩阵A的转置, $\\bar{A} $表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:

厄米矩阵,也称自伴随矩阵(埃尔米特矩阵),是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。

对于,有,其中为共轭算子,记作

厄米矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵),如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是厄米矩阵。也就是说,实对称矩阵是厄米矩阵的特例。

正定矩阵

一个n×n的实对称矩阵是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有$z^TMz > 0$。其中$z^T$表示z的转置。

对于复数的情况,定义则为:一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有 $z^*Mz > 0$ 。其中z*表示z的共轭转置。

判断正定阵

对n×n的埃尔米特矩阵,下列性质与为正定矩阵”等价:

1、矩阵的所有的特征值都是正的。

半正定矩阵

是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的,都有:

 

 

参考: 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9%E7%9F%A9%E9%98%B5

 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5

 

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