关于矩阵

Posted 2020-10-05 合唱团abc

 共轭复数：

一个复数 的复共轭为：

矩阵 $A$ 的共轭转置 $A^*$（又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置）定义为：

 

其中 $(\\cdot )_{i,j}$表示矩阵i行j列上的元素， ${\\bar{(\\cdot )}}$ 表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

其中 $A^T$ 是矩阵A的转置， $\\bar{A} $表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

厄米矩阵，也称自伴随矩阵（埃尔米特矩阵），是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。

对于,有，其中为共轭算子，记作

厄米矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是厄米矩阵。也就是说，实对称矩阵是厄米矩阵的特例。

正定矩阵：

一个n×n的实对称矩阵是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有$z^TMz > 0$。其中$z^T$表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有 $z^*Mz > 0$ 。其中z*表示z的共轭转置。

判断正定阵：

对n×n的埃尔米特矩阵，下列性质与为正定矩阵”等价：

1、矩阵的所有的特征值都是正的。

半正定矩阵：

是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的，都有：

 

 

参考： 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9%E7%9F%A9%E9%98%B5

 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5