NOIP 2007树网的核

Posted 2020-10-05 Z-Y-Y-S

题目描述

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

　　D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

 

输出格式：

 

输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

输出样例#1：

5

输入样例#2：

8 6
1 3 2
2 3 2 
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

输出样例#2：

5

说明

40%的数据满足：5<=n<=15

70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

题解：

首先求出直径

可以用floyd，也可以SPFA或两次bfs

复杂度分别为n^3,n^2,n，但明显floyd更简单

根据网上多数题解认为：接下来偏心距只要考虑路径与直径两端点的距离

但显然是错的，在洛谷后来的加强数据这些题解是WA的

所以要求出每一个直径上的点到非直径上的点的最长距离

这里用了一个dfs实现

如果用Floyd的话判断i是否在直径就很简单

dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y]

其实可以O(n^2)做，但没有必要

网上的O(n)算法还不知是否正确

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 int ans,dist[301][301],map[301][301],n,s,inf,x,y,m[301];
 7 bool vis[301];
 8 int dfs(int now)
 9 {int i,SS=0;
10     vis[now]=1;
11     for (i=1;i<=n;i++)
12     if (map[now][i]&&map[now][i]!=inf)
13     {
14         if (vis[i]==0)
15         {
16             if (dist[x][i]+dist[i][y]!=dist[x][y])
17             {
18                 SS=max(SS,map[now][i]+dfs(i));
19             }
20         }
21     }
22     return SS;
23 }
24 int main()
25 {int i,j,k,u,v,d,maxx,l;
26   cin>>n>>s;
27   memset(dist,127/3,sizeof(dist));
28   inf=dist[0][0];
29   for (i=1;i<=n;i++) dist[i][i]=0;
30   for (i=1;i<=n-1;i++)
31   {
32     scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
33     dist[u][v]=dist[v][u]=d;
34     map[u][v]=map[v][u]=d;
35   }
36   for (k=1;k<=n;k++)
37   {
38     for (i=1;i<=n;i++)
39     {
40       for (j=1;j<=n;j++)
41       {
42           dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
43       }
44     }    
45   }
46   maxx=0;
47     for (i=1;i<=n;i++)
48     {
49         for (j=i+1;j<=n;j++)
50         if (dist[i][j]!=inf&&dist[i][j]>maxx)
51         {
52             x=i;y=j;maxx=dist[i][j];
53         }
54     }
55     for (i=1;i<=n;i++)
56     if (dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y])
57     {
58         m[i]=dfs(i);
59     }
60     ans=2e9;
61     for (i=1;i<=n;i++)
62     if (dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y])
63     {
64         for (j=1;j<=n;j++)
65          if (dist[x][j]+dist[j][y]==dist[x][y])
66          {int tmp=0;
67              for (l=1;l<=n;l++)
68              if (dist[i][l]+dist[l][j]==dist[i][j])
69              tmp=max(tmp,m[l]);
70              if (dist[i][j]<=s)
71              {
72               ans=min(ans,max(tmp,max(min(dist[x][i],dist[x][j]),min(dist[i][y],dist[j][y]))));
73             }
74          }
75     }
76     cout<<ans;
77 }