NOIP 2007树网的核

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了NOIP 2007树网的核相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边到有正整数的权,我们称T为树网(treebetwork),其中V,E分别表示结点与边的集合,W表示各边长度的集合,并设T有n个结点。

路径:树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径,用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

  D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

树网的直径:树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F):树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离,即

ECC(F)=max{d(v, F),v∈V}

任务:对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s,求一个路径F,他是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过s(可以等于s),使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核(Core)。必要时,F可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中,A-B与A-C是两条直径,长度均为20。点W是树网的中心,EF边的长度为5。如果指定s=11,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为8。如果指定s=0(或s=1、s=2),则树网的核为结点F,偏心距为12。

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输入输出格式

输入格式:

 

输入文件core.in包含n行:

第1行,两个正整数n和s,中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数,s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1,2,……,n。

从第2行到第n行,每行给出3个用空格隔开的正整数,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

 

输出格式:

 

输出文件core.out只有一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。

 

输入输出样例

输入样例#1:
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

输出样例#1:
5
输入样例#2:
8 6
1 3 2
2 3 2 
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
输出样例#2:
5

说明

40%的数据满足:5<=n<=15

70%的数据满足:5<=n<=80

100%的数据满足:5<=n<=300,0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

题解:

首先求出直径

可以用floyd,也可以SPFA或两次bfs

复杂度分别为n^3,n^2,n,但明显floyd更简单

根据网上多数题解认为:接下来偏心距只要考虑路径与直径两端点的距离

但显然是错的,在洛谷后来的加强数据这些题解是WA的

所以要求出每一个直径上的点到非直径上的点的最长距离

这里用了一个dfs实现

如果用Floyd的话判断i是否在直径就很简单

dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y]

其实可以O(n^2)做,但没有必要

网上的O(n)算法还不知是否正确

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 int ans,dist[301][301],map[301][301],n,s,inf,x,y,m[301];
 7 bool vis[301];
 8 int dfs(int now)
 9 {int i,SS=0;
10     vis[now]=1;
11     for (i=1;i<=n;i++)
12     if (map[now][i]&&map[now][i]!=inf)
13     {
14         if (vis[i]==0)
15         {
16             if (dist[x][i]+dist[i][y]!=dist[x][y])
17             {
18                 SS=max(SS,map[now][i]+dfs(i));
19             }
20         }
21     }
22     return SS;
23 }
24 int main()
25 {int i,j,k,u,v,d,maxx,l;
26   cin>>n>>s;
27   memset(dist,127/3,sizeof(dist));
28   inf=dist[0][0];
29   for (i=1;i<=n;i++) dist[i][i]=0;
30   for (i=1;i<=n-1;i++)
31   {
32     scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
33     dist[u][v]=dist[v][u]=d;
34     map[u][v]=map[v][u]=d;
35   }
36   for (k=1;k<=n;k++)
37   {
38     for (i=1;i<=n;i++)
39     {
40       for (j=1;j<=n;j++)
41       {
42           dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
43       }
44     }    
45   }
46   maxx=0;
47     for (i=1;i<=n;i++)
48     {
49         for (j=i+1;j<=n;j++)
50         if (dist[i][j]!=inf&&dist[i][j]>maxx)
51         {
52             x=i;y=j;maxx=dist[i][j];
53         }
54     }
55     for (i=1;i<=n;i++)
56     if (dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y])
57     {
58         m[i]=dfs(i);
59     }
60     ans=2e9;
61     for (i=1;i<=n;i++)
62     if (dist[x][i]+dist[i][y]==dist[x][y])
63     {
64         for (j=1;j<=n;j++)
65          if (dist[x][j]+dist[j][y]==dist[x][y])
66          {int tmp=0;
67              for (l=1;l<=n;l++)
68              if (dist[i][l]+dist[l][j]==dist[i][j])
69              tmp=max(tmp,m[l]);
70              if (dist[i][j]<=s)
71              {
72               ans=min(ans,max(tmp,max(min(dist[x][i],dist[x][j]),min(dist[i][y],dist[j][y]))));
73             }
74          }
75     }
76     cout<<ans;
77 }

 





以上是关于NOIP 2007树网的核的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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