树网的核 Vijos1362 NOIP2007 树结构直径暴搜

Posted 2020-10-11 JayWang

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了树网的核 Vijos1362 NOIP2007 树结构直径暴搜相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题面在最下方。

树结构的题做多了就会发现，本题所谓的树网的核（一段偏心距ECC最小的路径）一定是在树的直径上的。

我刚开始做的时候没想到这个，然后写了三个dfs讨论每条直径 Orz

其实只要认识到了这一点，那么这个题maxn=300，轻轻松松打暴力啊！

首先跑一次最短路得到整张图内点对<s,t>的距离（Floyed是可以过的，但是我比较喜欢枚举每个点进行spfa）

两个for枚举一条路径的两个端点（假设是 < i , j >）

如果 dis<i,j> ≤ s，就计算偏心距并更新答案。

算<i,j>的偏心距：再一次枚举所有点，设为s，计算s到路径<i,j>的距离D。由树结构的特殊性可以证明，D=（dis<s,i>+dis<s,j>-dis<i,j>）/ 2

那么偏心距就是所有D里面的最大值。同时ans=min(ans，偏心距)

最后输出ans即可

附上AC代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 template<class T> inline void read(T &_a){
 6     bool f=0;int _ch=getchar();_a=0;
 7     while(_ch<‘0‘ || _ch>‘9‘){if(_ch==‘-‘)f=1;_ch=getchar();}
 8     while(_ch>=‘0‘ && _ch<=‘9‘){_a=(_a<<1)+(_a<<3)+_ch-‘0‘;_ch=getchar();}
 9     if(f)_a=-_a;
10 }
11 
12 const int maxn=301,maxs=1001;
13 struct edge
14 {
15     int to,dis,next;
16 }w[maxn<<1];
17 int n,s,egcnt=1,head[maxn],dis[maxn][maxn],ans=0x7fffffff,h,tail,q[10001];
18 bool ins[maxn];
19 
20 inline void addedge(int from,int to,int dis)
21 {
22     w[++egcnt].dis=dis;
23     w[egcnt].to=to;
24     w[egcnt].next=head[from];
25     head[from]=egcnt;
26     w[++egcnt].dis=dis;
27     w[egcnt].to=from;
28     w[egcnt].next=head[to];
29     head[to]=egcnt;
30 }
31 
32 inline void spfa(int u)
33 {
34     memset(ins,0,sizeof(ins));
35     h=0; tail=1; q[1]=u; dis[u][u]=0;
36     while(h!=tail)
37     {
38         h=h%10000+1;
39         int now=q[h];
40         ins[now]=false;
41         for (register int i=head[now];i;i=w[i].next)
42         {
43             if(dis[u][w[i].to]>dis[u][now]+w[i].dis)
44             {
45                 dis[u][w[i].to]=dis[u][now]+w[i].dis;
46                 if(!ins[w[i].to])
47                 {
48                     ins[w[i].to]=true;
49                     tail=tail%10000+1;
50                     q[tail]=w[i].to;
51                 }
52             }
53         }
54     }
55 }
56 
57 int main()
58 {
59     read(n); read(s);
60     for (register int i=1,a,b,c;i<n;++i) read(a),read(b),read(c),addedge(a,b,c);
61     memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
62     for (register int i=1;i<=n;++i) spfa(i);
63     for (register int i=1;i<=n;++i)
64         for (register int v=1,maxdis=0;v<=n;++v)
65             if(dis[i][v]<=s)
66             {
67                 for(register int j=1;j<=n;++j)
68                     maxdis=max(maxdis,dis[i][j]+dis[v][j]-dis[i][v]>>1);
69                 ans=min(ans,maxdis);
70             }
71     printf("%d",ans);
72     return 0;
73 }

View Code

描述

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

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