51Nod 1009 数字1的个数 | 数位DP

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了51Nod 1009 数字1的个数 | 数位DP相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

 

 

题意:

小于等于n的所有数中1的出现次数

 

分析:

数位DP

预处理dp[i][j]存 从1~以j开头的i位数中有几个1,那么转移方程为:

if(j == 1) dp[i][j] = dp[i-1][9]*2+pow(10,i-1);
else dp[i][j] = dp[i-1][9]+dp[i][j-1];

然后注意下对于每个询问统计的时候如果当前位为1需要额外加上他后面所有位数的个数,就是n%pow(10,i-1);

这样总复杂度log(n)*10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define rep(i,a,n) for(int i = a; i < n; i++)
#define repe(i,a,n) for(int i = a; i <= n; i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n; i >= a; i--)
#define clc(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int INF = 0x3f3f3f3f, MAXN = 11;
int dp[MAXN][10];///dp[i][j]从1~以j开头的i位数中有几个1
int bit[MAXN];

int main()
{
#ifdef SHY
    freopen("d:\\\\1.txt", "r", stdin);
#endif
    int tmp = 10;
    rep(i,1,10) dp[1][i] = 1;
    repe(i,2,9)
    {
        rep(j,1,10)
        {
            if(j == 1) dp[i][j] = dp[i-1][9]+tmp;
            else dp[i][j] = dp[i][j-1];
            dp[i][j] += dp[i-1][9];
        }
        tmp *= 10;
    }
    int n,cnt = 0;
    scanf("%d", &n);
    tmp = n;
    while(tmp)
    {
        bit[++cnt] = tmp%10;
        tmp /= 10;
    }
    int ans = 0,sum = 0;
    per(i,cnt,1)
    {
        if(bit[i] == 0) continue;
        if(bit[i] == 1)
            ans += dp[i-1][9]+1+n%((int)pow(10,i-1));
        else
            ans += dp[i][bit[i]-1];
    }
    printf("%d\\n", ans);
    return 0;
}

 

2.

解题关键:数位dp,对每一位进行考虑,通过过程得出每一位上1出现的次数

1位数的情况:

在解法二中已经分析过,大于等于1的时候,有1个,小于1就没有。

 2位数的情况:

N=13,个位数出现的1的次数为2,分别为1和11,十位数出现1的次数为4,分别为10,11,12,13,所以f(N) = 2+4。

N=23,个位数出现的1的次数为3,分别为1,11,21,十位数出现1的次数为10,分别为10~19,f(N)=3+10。

由此我们发现,个位数出现1的次数不仅和个位数有关,和十位数也有关,如果个位数大于等于1,则个位数出现1的次数为十位数的数字加1;如果个位数为0,个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关,也和个位数相关:如果十位数字等于1,则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1,假如十位数大于1,则十位数上出现1的次数为10。

 3位数的情况:

N=123

个位出现1的个数为13:1,11,21,…,91,101,111,121

十位出现1的个数为20:10~19,110~119

百位出现1的个数为24:100~123

 我们可以继续分析4位数,5位数,推导出下面一般情况: 

假设N,我们要计算百位上出现1的次数,将由三部分决定:百位上的数字,百位以上的数字,百位一下的数字。

如果百位上的数字为0,则百位上出现1的次数仅由更高位决定,比如12013,百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,共1200个。等于更高位数字乘以当前位数,即12 * 100。

如果百位上的数字大于1,则百位上出现1的次数仅由更高位决定,比如12213,百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数,即(12 + 1)*100。

        如果百位上的数字为1,则百位上出现1的次数不仅受更高位影响,还受低位影响。例如12113,受高位影响出现1的情况:100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,共1200个,但它还受低位影响,出现1的情况是12100~12113,共114个,等于低位数字113+1。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int solve(int n){
    int cnt=0,i=1,be,af,cur;
    while(n/i){
        be=n/(i*10);
        af=n-n/i*i;
        cur=n/i%10;
        
        if(cur>1) cnt+=(be+1)*i;
        else if(cur<1) cnt+=be*i;
        else cnt+=be*i+1+af;
        i*=10;
    }
    return cnt;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int ans=solve(n);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

 

参考:http://www.cnblogs.com/elpsycongroo/p/6917114.html

https://www.dawxy.com/article/51nod1009-%E6%95%B0%E5%AD%971%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E6%95%B0%E4%BD%8Ddp/

 

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