51nod 1009 - 数字1的数量 - [数位DP][模板的应用以及解释]

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题目链接:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1009

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给定一个十进制正整数N,写下从1开始,到N的所有正数,计算出其中出现所有1的个数。
 
例如:n = 12,包含了5个1。1,10,12共包含3个1,11包含2个1,总共5个1。
Input
输入N(1 <= N <= 10^9)
Output
输出包含1的个数
Input示例
12
Output示例
5

 

题解:

这道题跟前面的HDU2089HDU3555这两道题有一点不同,dp数组的设定不是很一样。

本题解的前提是,默认为阅读过“数位dp总结 之 从入门到模板 http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392”;

 

首先我们可以清楚地定义好,输入一个上界,那么它的位数就是“最大位数”,暂且定义为len;

然后我们的pos,定义域是在[0,len],它其实不是准确指定某一个长度的数;

而是说,它现在这个dp[pos][…]值,我们只管到范围从第1位到第pos位,再宽的话,抱歉我管不了。

 

首先,我们说清楚“位”:

  

 

接下来我们要设计dfs函数;

dfs(pos,cnt,limit)代表:

  已知第pos+1位到第len位上已有cnt个“1”(这是状态state);

  已知我现在要进行枚举的第pos位有没有上界限制(有上界限制的话上界up = dig[pos],没有的话上界up = 9);

  然后这个函数就能给你返回:第1位到第pos位上枚举所有可能出现的数字(每一位都可任意填0~9),连接上前面第pos+1位到第len位上已经确定下来的数字,共出现了多少个“1”。

例如:

  N = 1200,len = 4,pos= 2,limit = 0,已确定第3~4位是“01”(即cnt=1,出现了一个“1”),

  第1位到第2位上就可以从00枚举到99,那么dfs(2,1,0)的返回值就是0100到0199出现了多少个“1”;

这样设计的一个原因是,我们必须要求我们的dfs(pos,cnt,limit)能够在传入参数后,能迭代返回我们需要的答案。

换句话说,样例输入N = 1200,那么配合一个dig数组(dig[1]=0,dig[2]=0,dig[3]=2,dig[4]=1),我们的dfs(4,0,1)函数就能给你正确答案。

 

接下来是关于dp数组的定义:

dp数组可以说是dfs函数的记忆化,可以说dp[pos][cnt]的值就等于dfs(pos,cnt,0);

只要你算过一次dfs(pos,cnt,0),就用dp[pos][cnt]给你记录下来,在没有上界限制的情况下,可以直接使用dp[pos][cnt],而不用再去dfs(pos,cnt,0),节省大量时间。

例如:

  继续用前面的例子,N = 1200,len = 4,pos= 2,limit = 0,

  确定第3~4位是“01”(即cnt=1,出现了一个“1”),或者第3~4位是“10”(依然cnt=1,出现了一个“1”),

  第1位到第2位上从00枚举到99,那么“0100到0199”和“1000到1099”出现的“1”的个数是一样的,

  那么我们记录下“0100到0199”的第一次dfs(2,1,0)的返回值,存储在dp[2][1],那么之后要去算“1000到1099”的时候直接返回dp[2][1]即可;

 

然后设计dfs()函数的转移:

  dfs(pos,cnt,limit) 等于:暴力枚举第pos位上的数:i = 0 ~ ( limit ? dig[pos] : 9 ),累加起所有dfs( pos - 1, cnt + ( i==1?1:0) , limit && i == dig[pos] ).

 

最后!……配上数位DP的板子,就很好写啦。

 

AC代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int dig[11];
ll dp[11][11];
int N;

ll dfs(int pos,int cnt,bool limit)
{
    if(pos==0) return cnt; //已经精确到某一个数,那么直接返回这个数有几个“1”.
    if(!limit && ~dp[pos][cnt]) return dp[pos][cnt]; //如果曾今计算过dfs(pos,cnt,0),直接返回dp[pos][cnt]

    int up=limit?dig[pos]:9; //确定当前第pos位的枚举上界
    int ans=0; //定义ans变量,记录累加结果,在函数最后return ans
    for(int i=0;i<=up;i++) //暴力枚举当前第pos位的数
    {
        if(i==1) ans+=dfs(pos-1,cnt+1,limit && i==up); //如果当前位为1
        else ans+=dfs(pos-1,cnt,limit && i==up); //如果当前位不为1
    }

    if(!limit) dp[pos][cnt]=ans; //将dfs(pos,cnt,0)记录到dp[pos][cnt]
    return ans;
}
ll solve(int x)
{
    int pos=0;
    while(x) //将上界N记录到dig数组中
    {
        dig[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(pos,0,1);
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        printf("%lld\\n",solve(N));
    }
}

 

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